Convergence uniforme suite définie par récurence

[marion1560]

Bonjour,

j'ai une suite définie par récurrence sur par

et on me demande :
1)Est ce que la convergence simple dépend d'un premier terme f0.Calculer la limite simple
2)La suite converge t'elle uniformement vers cette limite.

1)
Pour la convergence simple je pense au point fixe donc si il y a convergence simple vers une fonction f alors on a:

et j'en ai déduit que
Est-ce correct?

2)
Par contre, pour la convergence uniforme je vois pas comment prouver qu'il y a convergence uniforme ou pas.
J'ai pensé à faire une récurrence à partir de la définition: quelque chose comme:
pour tous epsilon et pour tous x de R+* et d'initialiser pour un n0 mais cela ne mène pas à grand chose.

Pouvez vous me donner un indice pour me débloquer?
merci

[Doraki]

1)
Pour la convergence simple je pense au point fixe donc si il y a convergence simple vers une fonction f alors on a:

et j'en ai déduit que
Est-ce correct?

Tu as montré que pour toute fonction f0 : R+* -> R+*, pour tout x dans R+*, si la suite (fn(x)) a une limite dans R+*, alors cette limite est racine(x).
Mais tu n'as pas montré que la suite avait forcément une limite.
Si ça se trouve il y en a qui tendent vers l'infini, ou d'autres qui tendent vers 0, ou d'autres qui font n'importe quoi.

Pour le 2), ben ça dépend de la fonction initiale, j'imagine.
Tu peux voir si y'a pas des fonctions f0 qui donnent une suite (fn) où la différence |fn(x)-racine(x)| n'est borné pour aucun n

[marion1560]

Tu as montré que pour toute fonction f0 : R+* -> R+*, pour tout x dans R+*, si la suite (fn(x)) a une limite dans R+*, alors cette limite est racine(x).
Mais tu n'as pas montré que la suite avait forcément une limite.
Si ça se trouve il y en a qui tendent vers l'infini, ou d'autres qui tendent vers 0, ou d'autres qui font n'importe quoi.

Pour le 2), ben ça dépend de la fonction initiale, j'imagine.
Tu peux voir si y'a pas des fonctions f0 qui donnent une suite (fn) où la différence |fn(x)-racine(x)| n'est borné pour aucun n

merci beaucoup pour votre réponse.
Apparemment si on prend f0=x par exemple ça converge bien vers racine(x) mais je n'arrive pas à montrer que ça converge uniformément vers racine(x).
Voilà ce que j'ai fait pour la convergence uniforme (en prenant f0=x):
a) j'ai montré que la suite était positive et décroissante à partir de n=1
b) j'ai supposé la propriété suivante:

et j'ai démontrer par la positivité et la décroissante que:

et donc:


mais puisque je n'arrive pas à démontrer l'hypothèse de départ ça ne sert à rien je suis incapable de montrer la convergence uniforme pour un cas particulier(f0=x)

[Doraki]

Ben avec f0(x) = x, ça donne un exemple de fonction où la différence |fn(x)- racine(x)| n'est jamais bornée, donc ça ne peut pas converger uniformément.

Par contre, si tu prends f0(x) = racine(x), là, ça converge uniformément.

j'ai supposé la propriété suivante: [...] et j'ai démontrer par la positivité et la décroissante que:

cette implication (je suppose que tu voulais dire que si pour tout x |fn(x) - racine(x)| < epsilon, alors pour tout x |f(n+1)(x) - racine(x)| < epsilon) est fausse.

[marion1560]

Ben avec f0(x) = x, ça donne un exemple de fonction où la différence |fn(x)- racine(x)| n'est jamais bornée, donc ça ne peut pas converger uniformément.

j'ai un problème avec ça justement :
même si on suppose que |fn(x)- racine(x)| n'est pas bornée pour un n donnée ( f1 par exemple) rien ne prouve que |fn(x)- racine(x)| n'est pas bornée pour tous les n a partir d'un certain rang puisque la suite est décroissante non?

[Doraki]

Qu'est-ce qui est décroissant ??

[marion1560]

Qu'est-ce qui est décroissant ??

la fuite (f(n)(x)) du moins à partir de n=1.
en faite je comprends pas pourquoi vous dites que |fn(x) - racine(x)| n'est jamais bornée( toujours pour f0=x)

[Doraki]

Ah oui tu as raison ça décroît à partir de n=1.

Sinon, pour f0(x) = x, quand x tend vers l'infini, f1(x) est équivalent à x/2, qui croît beaucoup plus vite que racine(x), donc |f1(x)-racine(x)| tend vers l'infini quand x tend vers l'infini.
De même, f2(x) est équivalent à x/4, qui croît beaucoup plus vite que racine(x), ...
etc.

[marion1560]

Ah oui tu as raison ça décroît à partir de n=1.

Sinon, pour f0(x) = x, quand x tend vers l'infini, f1(x) est équivalent à x/2, qui croît beaucoup plus vite que racine(x), donc |f1(x)-racine(x)| tend vers l'infini quand x tend vers l'infini.
De même, f2(x) est équivalent à x/4, qui croît beaucoup plus vite que racine(x), ...
etc.

a oui c'est vrai!
bon j'ai encore quelque détails à régler mais je pense que je vais pouvoir me débrouiller maintenant.
merci beaucoup pour ton aide :lol3: