Convergence d'une suite

[neuneu]

Bonsoir j'aurais besoin de votre aide s'il vous plait pour montrer que la suite définie par
u(0)=1 et
u(n+1)=exp(-u(n)-1) converge s'il vous plait

Si je pose f(x)=exp(-x-1), comme ma fonction f est décroissante , j'ai vu dans mon cours que je pouvais montrer que u2n était croissante et u(2n-1) était décroissante (ou inversement) et que çà impliquait que ma suite convergeait.
Mais je ne sais pas trop comment le faire. Dois je raisonner par récurrence?

Si ce que je dis ne sert à rien que dois je faire pour le prouver s'il vous plait

merci

[yos]

Si je pose f(x)=exp(-x-1), comme ma fonction f est décroissante , j'ai vu dans mon cours que je pouvais montrer que u2n était croissante et u(2n-1) était décroissante (ou inversement) et que çà impliquait que ma suite convergeait.

Bonjour. Tu as mal lu ton cours. Les deux suites peuvent diverger (pas ici car l'une est décroissante positive) ou bien converger vers des limites différentes.

[yos]

D'ailleurs si elle convergeait sa limite vérifierait et...

[BertrandR]

Bonjour,
Tu dois d'abord voir si elle converge ou non, pour ca étudie ta fonction et conjecture le comportement de ta suite au vu de ton étude. Ensuite si tu prouve qu'elle est convergente, trouve les points fixes de ta fonction et essai de regarder quelle est la limite.

Bonne chance!

[neuneu]

Bonsoir d'abord merci pour vos réponses
Alors d'abord Yos oui je me suis trompé je suis allé vérifié j'ai dit n'importe quoi

Alors j'essaye de trouver le point fixe de ma fonction mais je n'arrive pas à résoudre l'équation
x-exp(-x-1)=0

en admettant que j'ai réussi,si ma suite converge , elle convergera forcément vers mon point fixe c'est bien çà?
mais comment je peux faire pour prouver qu'elle converge bien?

[Yvon]

Tu n'arriveras pas à résoudre cette équation de manière algébrique, mais tu peux prouver qu'il y a une solution et en trouver une valeur approchée.

[yos]

Ah je me suis trompé : je pensais que la solution était négative, mais en fait non, elle est bien positive : donc ta suite peut très bien converger.

[neuneu]

Bonjour j'ai donc réussi à avoir une valeur approchée de mon point fixe mais désolé je ne vois pas ce que je dois faire ensuite
Pouvez vous m'expliquer s'il vous plait

[Yvon]

Visiblement, la suite converge vers la valeur du point fixe (environ 0,27).
La suite des indices pairs est décroissante, celle des entiers impairs est croissante, mais pour montrer qu'elles sont adjacentes, il faut aussi montrer que la première est supérieure à la deuxième et surtout que la différence tend vers 0.

Le plus simple me semble sans doute de majorer directement (l représentant la valeur du point fixe) par une suite géométrique en utilisant le théorème des accroissements finis.
Vois-tu la méthode ?

Yvon

[yos]

Sinon on dit que f laisse stable [0,1] donc les 2 suites sont bornées donc convergentes. Leur limite est un point fixe de fof qui n'en a qu'un (fof(x)-x strictement décroissante comme le montre la dérivée). Ce point fixe est aussi celui de f.

[neuneu]

Merci pour ta réponse yos
je vais essayer!

[neuneu]

Désolé de vous embêter encore avec mon exo mais je suis perdu...
Je suis d'accord avec le fait que f laisse stable [0,1] , mes 2 suites sont bornées donc sont convergentes çà vient bien du fait que l'une est croissante et l'autre décroissante?
Je dois le montrer pas récurrence que ma suite U(2n)est décroissante ?
parce que j'ai un problème:pouvez vous me dire si ce que j'écris est vrai s'il vous plait
U(2n)=exp(-U(2n-2)-1) et U(2n+1)=exp(-U(2n-1))? et je pars pour n>=1 dans les 2?
Mais quand je fais ma récurrence:
Je suppose que U(2n)donc -U(2n)>-U(2n-2)
-U(2n)-1>-U(2n-2)-1
donc exp(-U(2n)-1)>exp(-U(2n-2)-1)
donc U(2n+2) > U(2n)
mais moi je voulais l'inverse...je comprends pas

En admettant çà, pourquoi leur limite est un point fixe de fof et pourquoi ce point fixe est aussi celui de f.

Yvon si je majore | Un - l | je laisse tomber mas 2 suites c'est bien çà?
| U(n+1) - l |= | exp (-(Un) -1) - l |
mais je ne vois pas trop ce que je dois faire après.

Désolé mais je ne comprends rien

[yos]

Bonjour.
Pose .
La suite est définie par itération à l'aide de
Les suites sont définies par itération à l'aide de .
f est décroissante donc g est croissante, donc les suites sont monotones (récurrence évidente). Pour savoir si elles sont croissantes ou décroissantes, il suffit de regarder les deux premiers termes de chaque suite.

[neuneu]

Tu peux arrêter de me répondre si je te soule je comprendrais! Mais j'aimerais vraiment comprendre...
Peux tu m'expliquer pourquoi les suites et sont définies par itération à l'aide de g s'il te plait?
?
f est décroissante donc g est croissante, donc les suites sont monotones d'accord. Pour savoir si elles sont croissantes ou décroissantes, je regarde les deux premiers termes de chaque suite, d'accord aussi.
Comme f est stable sur [0,1] , aussi donc mes suites sont monotones et bornées donc convergent,est ce que je dis vrai?
Elles convergent forcément vers un point fixe de g. Mais je ne peux pas l'avoir explicitement ce point fixe si?
Mais pourrais tu me dire pourquoi f et g ont le même fixe s'il te plait.
Après si c'est bien le cas j'obtiens 2 suites extraites qui sont adjacentes donc ma suite est convergente?

[yos]

Peux tu m'expliquer pourquoi les suites et sont définies par itération à l'aide de g s'il te plait?
?

. En bref, il y a deux termes d'écart entre et donc on applique deux fois f.

Comme f est stable sur [0,1] , aussi donc mes suites sont monotones et bornées donc convergent,est ce que je dis vrai?

Dis plutôt "f laisse stable [0,1]" ou bien "[0,1] est stable par f".
Mais c'est ça.

Elles convergent forcément vers un point fixe de g. Mais je ne peux pas l'avoir explicitement ce point fixe si?
Mais pourrais tu me dire pourquoi f et g ont le même fixe s'il te plait.
Après si c'est bien le cas j'obtiens 2 suites extraites qui sont adjacentes donc ma suite est convergente?

Pas explicitement, non.
Tout point fixe de f est un point fixe de g : en effet, si f(a)=a, alors f(f(a))=a.
La réciproque est fausse en général sauf si tu sais que g n'a qu'un point fixe. C'est pour ça que je t'ai dit d'étudier g.

[neuneu]

Merci yos pour ta patience et tes explications.
Il faut donc que j'étudie g afin de prouver qu'elle ne possède qu'un seul point fixe qui est celui de f; et je pourrais conclure sur la convergence de ma suite
merci