Convergence d'une suite extraite de Cauchy

par **Als128** » 21 Déc 2009, 21:00

Bonsoir à tous,

Il ya deux semaines j'avais demandé de l'aide pour une demonstration car je comprenais pas une solution proposée pour un exercice. rebelote ce soir avec la 2eme question.

L'énoncé est :

Soit E espace de banach, F sous espace fermé, G=E/F, on pose pour :

Montrer que nu est une norme sur G

La norme du coup maintenant c'est bon (grace à votre aide, merci !)

la seconde question :

démontrer que (G, ) est complet.

Le principe expliqué dans la solution est simple (et facilement compréhensible) : démontrer qu'une suite cauchy converge. Comment ? en extrayant une suite qui converge. (Ca c'est bon j'ai compris) Mais j'ai plus de mal avec la demonstration en elle même.

La solution dit :

Soit une suite de cauchy de G. Extrayons une sous suite ( ) telle que :

On peut construire une suite ( ) verifiant :

Il suffit de construire par reccurence sur en utilisant la definition de

Alors là, je nage... J'ai compris le principe, mais j'aimerai bien qu'une ame charitable m'aide à comprendre la demonstration. Comment trouver cette majoration ? Comment utiliser le principe de récurrence pour demontrer la convergence de la suite extraite ?

Merci !!!!

par **Ben314** » 21 Déc 2009, 21:32

Bonsoir,
Si on veut tout bien détailler la démonstration,
On commence par construire (par récurrence) la suite extraite

vérifiant la première inégalité.
Puis, on explique comment choisir (toujours par récurence) des représentant

vérifiant la deuxième inégalité.

Arrivé à ce point, il n'y a pas d'autres récurences (2 c'est déjà bien).
(Je ne vois absolument pas comment on pourrait montrer "par récurrence" qu'une suite converge !!!)

La fin du raisonnement consiste à déduire de la deuxième inégalité que la suite

est de cauchy et donc converge (car E est supposé complet).
Il est alors façile de montrer que la classe de la limite (dans le quotient) est une valeur d'adhérence de la suite de départ.
Or toute suite de cauchy admetant une valeur d'adhérence est forcément convergente.

par **Als128** » 21 Déc 2009, 21:41

Ben314 a écrit:Bonsoir,
Arrivé à ce point, il n'y a pas d'autres récurences (2 c'est déjà bien).
(Je ne vois absolument pas comment on pourrait montrer "par récurrence" qu'une suite converge !!!)

Je me suis mal exprimé, désolé... Je suis bien conscient qu'on ne peut pas démontrer la convergence d'une suite au moyen d'une recurrence. en fait c'est la demonstration des 2 majorations (qui elle se fait par reccurence) que je n'arrive pas à saisir.
Comment trouve-t-on le 1/2^p et 1/2^(p+1) ? En choississant epsilon = 1/2 dans la definition d'une suite de cauchy ?
Si oui, j'arrvie pas à saisir la recurrence qui donne 1/2^p

Voilà.. Merci pour ton aide

par **Ben314** » 21 Déc 2009, 21:49

Als128 a écrit:Comment trouve-t-on le 1/2^p et 1/2^(p+1) ? En choississant epsilon = 1/2 dans la definition d'une suite de cauchy ?

Oui, on commence par prendre epsilon=1/2 pour 'fabriquer'

puis on prend epsilon=1/4 pour 'fabriquer'

puis on prend epsilon=1/8 pour 'fabriquer'

...
Le seul coté 'récurrence' là dedans, c'est seulement pour dire que le

qu'on choisi, on peut évidement le prendre strictement plus grand que

!
(je pense qu'a ton niveau, on n'est pas obligé de rédiger la récurrence avec 'amorce' et tout le toutim... un petit 'etc' à la fin des 3 premières étapes me semble suffisant)
Aprés, pour les

, on peut faire une "vrai récurrence" : ca ne coute pas cher car l'amorce est 'gratos' : on prend

un représentant quelconque de

.
Ensuite, on explique sagement comment choisir

connaissant

de façon à ce que l'inégalité soit vérifié.

par **Als128** » 21 Déc 2009, 22:06

si je te suis bien :

qu'est ce qui permet d'affirmer que pour

n2 est supérieur à n1 ?

par **Ben314** » 21 Déc 2009, 22:21

C'est pas super tout à fait ça.
La définition te dit :

et tu prend

.
Tout cela pour dire que tu impose dans la construction que

(ce n'est pas une déduction)
et, du fait que

, tu déduit de

que

Idem pour les suivants

par **Als128** » 21 Déc 2009, 22:46

En reprenant (*)
je peux pas dire que si

et comme

alors par construction N est forcement superieur à n1

par **Ben314** » 21 Déc 2009, 22:56

Ca serait 'presque' vrai à condition de préciser que, à chaque fois qu'il y a un "il existe un N tel que" tu le prend le plus petit petit possible.
Par exemple les deux phrases :
pour tout n>9 on a 1/n4 on a 1/n9 (car 9 n'est pas la meilleure borne)
Le 'presque' vient du fait que, même en prenant la meilleur borne possible, tu risque d'avoir

alors que tu ne le veut pas :
pour tout n>1 on a 1/n^31 on a 1/n^3<1/4

par **Als128** » 21 Déc 2009, 23:01

En fait l'existence de N permet de le choisir n2 comme on veux (en l'occurence plus grand que n1, même s'il existe des entiers pour lesquels l'inégalité est vérifiée et qui st inferieurs à n2).
C'est ça ?

par **Ben314** » 21 Déc 2009, 23:09

Tout à fait : il suffit de comprendre que, si la "phrase logique"
[TEX]\forall n,m\ge N\; \nu(\x_{m}-\x_{n})=1000 (et peut être aussi pour certains N plus petit que 1000)
On n'utilise TRES fréquement cela dans des preuve.
En général on écrit "on peut évidement supposer que N>?..."

par **Als128** » 21 Déc 2009, 23:15

nickel.. Merki !!! (je me coucherai moins bête ce soir, et c'est une grande avancée)

par **Ben314** » 21 Déc 2009, 23:18

Si tu veux mons avis, il faut petit à petit comprendre le "sens" des phrases logiques avec des quantificateurs pour pouvoir dire comme les autre matheux "on peut évidement supposer que...".
Sauf que, cela ne se fait pas en un jour...

par **Als128** » 22 Déc 2009, 07:57

Bon... je pensais reussir à faire la 2eme recurrence sans difficultés mais non... j'arrive pas à "construire" le

par **Doraki** » 22 Déc 2009, 08:50

Tu n'arrives pas à utiliser le fait que

?

par **Als128** » 22 Déc 2009, 09:05

Ben je dois vraiment avoir des oeilleres parce que j'arrive pas à trouver le truc (même si j'ai compris la première demonstration...)

par **Doraki** » 22 Déc 2009, 09:33

cette affirmation parle d' éléments de E/F.
Tu peux traduire ce que ça veut dire pour obtenir un truc qui parle d'éléments de E ?

par **Als128** » 22 Déc 2009, 09:56

ca veut dire

et je vois pas comment justifier l'ineagalité pour x quelconque (et non la borne inf)

par **Doraki** » 22 Déc 2009, 10:03

Tu peux pas retirer la borne inf quitte à changer la majoration ?

par **Ben314** » 22 Déc 2009, 10:09

Je me demande si ça serait pas plus 'visuel' en traduisant exactement la déf. :

P.S. : je suis tout à fait d'accord que, sur le fond, ça ne change rien...

par **Als128** » 22 Déc 2009, 10:20

Nan... je vois pas et en plus ça commence doucement à m'enerver de ne pas comprendre un truc qui manifestement semble simple

Convergence d'une suite extraite de Cauchy

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