Convergence !

par **barbu23** » 25 Déc 2007, 17:49

Bonjour :
J'ai une petite question à vous poser :
Si

est un ensemble muni de la distance

, alors

signifie par definition que

pour

assez grand.
Si

est un ensemble muni d'une norme

, alors

signifie par definition que

pour

assez grand.
Et si

un ensemble muni de rien, que signifie la notion de convergence dans ce cas là !!
Est ce que tout ensemble est metrisable ? je pense que j'ai vu ça quelque part !! c'est vrai ça ?
Un exemple d'ensemble non metrisable ?
Merci d'avance !!

par **cesar** » 25 Déc 2007, 18:01

tu peux toujours créer sur un ensemble non vide X une topologie "grossiere" : la distance d est définie de la maniere suivante, pour 2 elements de X, que je nomme a et b.
d(a,b) = 1 si a different de b
d(a,b)=0 si a = b
tu peux verifier que c'est bien une distance....et je n'ai fait aucune hypothese sur X, hormis qu'il est non vide.

par **leon1789** » 25 Déc 2007, 18:30

cesar a écrit:tu peux toujours créer sur un ensemble non vide X une topologie "grossiere" : la distance d est définie de la maniere suivante, pour 2 elements de X, que je nomme a et b.
d(a,b) = 1 si a different de b
d(a,b)=0 si a = b
tu peux verifier que c'est bien une distance....et je n'ai fait aucune hypothese sur X, hormis qu'il est non vide.

Oui, et dans ce cas,

tend vers x signifie que

est constante (égale à x) à partir d'un certain rang.

par **barbu23** » 25 Déc 2007, 19:07

Bonsoir :
J'essaye de trouver un exemple d'application du theorème de "Stone-Weierstrass" et pour celà j'ai pensé au methode d'approximations d'une fonction continue par une suite de polynomes ! ( mais cette fois çi pour la norme de convergence uniforme )
Pouvez m'aider sur ce point là ? car ça fait longtemps que j'ai pas jeter un coup d'oeil sur ce genre de cours !
Merci ifiniment !!

par **sandrine_guillerme** » 25 Déc 2007, 20:04

barbu23 a écrit:Est ce que tout ensemble est metrisable ? je pense que j'ai vu ça quelque part !! c'est vrai ça ?
Un exemple d'ensemble non metrisable

Bonjour

Je ne suis pas sûr de ce que je veux dire, mais il me semble que le produit infini non dénombrable d'em est non mètrisable !

par **barbu23** » 25 Déc 2007, 21:36

Bonsoir :
Pourquoi dans un localement compact de dimension quelconque , la boule unité fermé est compact ?
Merci d'avance !!

sandrine_guillerme a écrit:Bonjour

Je ne suis pas sûr de ce que je veux dire, mais il me semble que le produit infini non dénombrable d'em est non mètrisable !

Merci "Sandrine" ! je vais essayer de voir ça en detail après !!

par **sandrine_guillerme** » 26 Déc 2007, 01:33

Je reviens encore une fois à ma remarque ,

alors ce qu'on a c'est : Tout espace compact et dénombrable est métrisable.
qui n'est une généralisation du résultat suivant : Un espace métrique compact dénombrable est homéomorphe à une partie de

.. qui lui même une très belle application de Baire ..

si ça peut aider (je ne savais pas ça avant )

par **legeniedesalpages** » 26 Déc 2007, 01:48

Salut,

bien sûr il faut parler d'un ensemble muni d'une topologie et non d'un ensemble à poil.

Les espaces non séparés ne sont pas métrisables (ensembles munis de la topo grossière, ou corps munis de la topo de Zariski, ...). Pour ces espaces, je ne pense pas que la notion de convergence soit très intéressante.

Après parmi les espaces séparés, beaucoup sont métrisables mais pas tous, et il y a des espaces non métrisables où la notion de convergence est utile d'où la nécessité de généraliser ce concept.

Par exemple l'ensemble des applications de [0,1] dans lui même muni de la topologie de la convergence simple n'est pas métrisable, l'espace des fonctions tests (peut-être l'as tu rencontré en théorie de la mesure) non plus.

La définition générale pour les limites de suites:

Dans un espace topologique X, on dit qu'une suite

de points de X tend vers

si pour tout voisinage

de

, il existe un entier

tel que :

[CENTER]

[/CENTER]

Normalement tu as peut être vu cette notion de convergence de suite dans un espace topologique (pas forcément métrique), après pour les fonctions c'est plus compliqué, il faut se familiariser avec les bases de filtre.

par **legeniedesalpages** » 26 Déc 2007, 02:04

cesar a écrit:tu peux toujours créer sur un ensemble non vide X une topologie "grossiere" : la distance d est définie de la maniere suivante, pour 2 elements de X, que je nomme a et b.
d(a,b) = 1 si a different de b
d(a,b)=0 si a = b
tu peux verifier que c'est bien une distance....et je n'ai fait aucune hypothese sur X, hormis qu'il est non vide.

D'accord avec toi, mais on appelle plutôt cette topologie "discrète", la topologie "grossière" (les seuls ouverts sont l'ensemble vide et X) n'est pas métrisable et amène à d'autres bizarreries:

si on prend une suite de points

de X, cette suite est convergente et tout point de X est limite de cette suite (dès que X a au moins deux éléments, on a pas unicité de la limite, cela est du au fait que cette espace n'est pas séparé).

On note à ce moment là:

quand

mais par contre la notation

n'a pas de sens si X a au moins deux éléments

par **barbu23** » 26 Déc 2007, 17:57

oui , voilà !!
Merci à vous deux ! :happy:

par **barbu23** » 26 Déc 2007, 18:05

Une partie "denombrable" est homeomorphe à une partie de

... ? c'est vrai ça ? c'est un peu bizarre ça ! vous pouvez expliquez un peu plus ce point là ?
Merci d'avance !!

par **legeniedesalpages** » 26 Déc 2007, 18:22

regarde le premier de la liste de la bwata'Baire: http://baire.homelinux.org/~twiki/bin/view/BwataBaire/WebHome

par **barbu23** » 26 Déc 2007, 18:23

Par exemple :

est compact denombrable , mais pas homeomorphe à une partie de

... il y'a quelques choses qui ne va pas je pense dans ton énoncé "Sandrine" !!

par **legeniedesalpages** » 26 Déc 2007, 18:25

barbu23 a écrit:Par exemple : est compact denombrable , mais pas homeomorphe à une partie de ... il y'a quelques choses qui ne va pas je pense dans ton énoncé "Sandrine" !!

ben c'est une partie de IR pourtant, et elle est bien homéomorphe à elle-même (la relation "être homéomorphe à" est réflexive)

par **barbu23** » 26 Déc 2007, 18:33

Ah d'accord ! à une partie plongeable dans

mais pas "denombrable" !! j'ai dit mais qu'est ce qu'il disent ces gens là :lol2: !! d'accord !! oui, on peut prevoir ce genre de resultat "legeniedesalpages" !

par **legeniedesalpages** » 26 Déc 2007, 18:35

barbu23 a écrit:Ah d'accord ! à une partie plongeable dans mais pas "denombrable" !! j'ai dit mais qu'est ce qu'il disent ces gens là :lol2: !! d'accord !! oui, on peut prevoir ce genre de resultat "legeniedesalpages" !

ben si, dénombrable vu que l'ensemble de départ est dénombrable et qu'un homéomorphisme est une bijection.

par **legeniedesalpages** » 26 Déc 2007, 18:41

Je ne sais pas où est le quiproquo, mais personnellement je ne vois aucune différence entre ce qu'a dit sandrine et ce qui est écrit dans la bwatabaire.

sandrine_guillerme a écrit: Un espace métrique compact dénombrable est homéomorphe à une partie de .. qui lui même une très belle application de Baire ..
si ça peut aider (je ne savais pas ça avant )

par **barbu23** » 26 Déc 2007, 18:44

oui ! voilà ! merci beaucoup !!

par **barbu23** » 26 Déc 2007, 18:48

elle a dit une partie de

! et là j'ai pensé à une partie continue au sens des cardinaux ( non denombrable ) !! ils auraient mieux écrit "denombrable" tout simplement !! ou c'est moi qui est plongé dans l'erreur ?

par **legeniedesalpages** » 26 Déc 2007, 19:11

barbu23 a écrit:elle a dit une partie de ! et là j'ai pensé à une partie continue au sens des cardinaux ( non denombrable ) !! ils auraient mieux écrit "denombrable" tout simplement !! ou c'est moi qui est plongé dans l'erreur ?

oui mais bon dans IR, il y a des parties de toutes les tailles: vide, finies, dénombrable, non dénombrable.

vu qu'on parle d'une partie qui est en bijection avec une partie dénombrable, c'est clair que cette partie sera dénombrable.

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