Convergence de n!/n^n

[RaoulBoch]

Soit (Un) la suite definie par
;)n;);) Un = (n!) / (n^n)

Etudier la convergence de (Un)

Merci de me débloquer

[Nightmare]

Bonjour :happy3:

Remarque que

:happy3:

[thedream01]

Bonjour!
Sauf erreur de ma part, je dirais plutot:
U(n+1) = U(n) * (n/(n+1))^n.
tu vois comment conclure?

[RaoulBoch]

attendez je regarde l'autre methode

[RaoulBoch]

ca serait pas plutot

Un+1= Un * (n+1) * (n/n+1)^n ???

[thedream01]

revérifie tes calculs

[ThSQ]

Ca tend vers zéro est très très vite !

1- Par récurration c'est facile de montrer que

2- Ou par l'utilisation de Moyenne arithmétique >= moyenne géométrique et donc

3- Ou Stirling

... :briques:

[thedream01]

Il n'est pas la peine de se compliquer la vie comme ça!!!
Il suffit de remarque que n/(n+1) < 1. Donc que U(n+1) < U(n) pour n>0.
Ta suite est minorée par 0 d'où la convergence!

[RaoulBoch]

tu peux developper un peu stp

[thedream01]

Comment utiliser Stirling???

[bitonio]

n!~ et sinon il suffit de dire que

[ThSQ]

Il n'est pas la peine de se compliquer la vie comme ça!!!
Il suffit de remarque que n/(n+1) 0.
Ta suite est minorée par 0 d'où la convergence!

Certes elle converge. Et vers quoi ?

[thedream01]

Il ne faut pas te compliquer la vie, tu as une suite décroissante et minorée, donc elle converge!
Qu'est-ce que tu n'as pas compris?

[ThSQ]

J'ai pas compris pourquoi elle converge vers zéro (avec juste les faits que décroissant + > 0). Mais si tu me l'expliques lentement je vais peut-être comprendre !

[bitonio]

Rien ne prouve que si elle est décroissante et minorée elle tend vers 0...

[thedream01]

On ne nous a pas demandé la limite!
On nous a demandé si elle convergait ou non!
Aprés, il est évident qu'elle tend vers zéro, chose que l'on peut démontrer comme vous l'avez fait avc Stirling...(mais je ne pense pas qu'on connaisse ça en début de Sup, du moins, on ne l'avait pas vu nous)

[ThSQ]

En général quand on demande d'étudier la convergence on demande aussi la valeur de la limite. Bref. J'arrête ici cette discussion inutile.

[RaoulBoch]

On a Un+1 = Un * (n+1) * (n/n+1)^n *1/(n+1)
donc comme (n/n+1)^n tend vers 0 quand n tend vers plus l'infini on a quand n tend vers plus l'infini Un+1 = 0
et donc avec le théoreme de passage a la limite, l =0
on peut faire ca?

[ThSQ]

(n/n+1)^n tend vers 0 quand n tend vers plus l'infini

Sûr ? :hein:

[yos]

Bonjour.
tend vers 1/e et pas vers 0. Cela permet de conclure car on a donc .