Convergence

par **legeniedesalpages** » 27 Juil 2007, 10:33

Bonjour, je ne vois pas comment démarrer cet exercice:

est un espace compact et

est une suite croissante d'applications semi-continues inférieurement de X dans

(ie que

pour tout

si

) qui converge seimplement vers une fonction

continue. Montrer que

converge uniformément vers

(ce résultat étend le théorème de Dini).

par **SimonB** » 27 Juil 2007, 11:20

Il me semble avoir fait cet exercice en colle. Il s'agit de majorations plus ou moins subtiles, et on a besoin d'utiliser le théorème de Heine (X étant compact et f continue sur X, f y est uniformément continue) pour aider dans une des majorations. Pour le reste, il faut mettre les mains dans le cambouis et commencer : pour tout x dans X, et majorer l'expression |fn(x)-f(x)| à p.c.rg...

par **legeniedesalpages** » 27 Juil 2007, 11:25

Je crois que j'ai un trouvé une idée de solution mais je pense qu'il y a un problème.

Pour tout réel

, l'ensemble

est fermé.

En effet

, d'où

.
Comme

est semi-continue inférieurement,

est fermé.
Et comme

a

pour limite simple, la suite

est décroissante, et son intersection est vide.

X est compact, donc il existe un entier

tel que

entraîne

, ce qui traduit la convergence uniforme des

vers

.

Mais je ne vois pas l'utilité que

soit continue?

par **legeniedesalpages** » 27 Juil 2007, 11:27

Bonjour SimonB, je n'avais pas vu ton post, je vais suivre tes indications merci . :happy2:

par **legeniedesalpages** » 27 Juil 2007, 12:35

pour tout x dans X, et majorer l'expression |fn(x)-f(x)| à p.c.rg...

Mais c'est dit dans l'hypothèse, quand on dit que

converge simplement vers

.

En fait j'utilise la convergence simple de

et la compacité de

pour montrer que pour tout

, à partir d'un certain rang

, pour tout

et pour tout

, on a

.

Par contre je ne vois pas où il faut utiliser la continuité uniforme de

?

par **SimonB** » 27 Juil 2007, 12:37

Oula, c'est bien les vacances pour moi, je confonds convergences simple et uniforme...

Ca doit être parce qu'à la suite de coups portés au visage par un imbécile aviné, je suis en pleins ITT (8 jours, snif) :ptdr:

Comme je respecte lesdites ITT, je vais arrêter de dire n'importe quoi. Mais je suis sûr que l'uniforme continuité sert quelque part...

par **legeniedesalpages** » 27 Juil 2007, 12:52

J'ai trouvé mon erreur :

Comme

est semi-continue inférieurement,

est fermé.

Je me suis un peu trop avancé, j'ai zappé que

n'est pas indépendant de

. :briques:

Donc il faut que je m'y prenne autrement pour montrer que

est fermé . Peut-être que je dois utiliser la continuité de

à cette étape.

par **legeniedesalpages** » 27 Juil 2007, 13:39

Je crois qu'en fait je me suis un peu pris la tête.

On a

continue, donc semi-continue supérieurement,

est semi-continue inférieurement,
donc -

est semi-continue supérieurement.
Ainsi

est semi-continue supérieurement (stabilité par addition), donc

est fermé.

Sauf erreur

Convergence

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