Convergence.

par **Deluxor** » 11 Oct 2011, 19:18

Bonsoir!
Bonsoir.

On considère la suite ( u_n ) définie par : u_0 = 1/2 et : pour tout n >(ou=) 0, u_{n+1}=(1- u_n)².

Etudier la convergence de la suite.

Aucune piste ne m'est donnée. Pouvez-vous m'aider à organiser ma réflexion?

J'ai démontré que : pour tout n >(ou=) 0, u_n existe et 0 <(ou=) u_n <(ou=) 1.

J'ai posé f(x)=(1-x)^2 et démontré que fof est croissante sur [0; + \infty[

J'ai posé v_n = u_{2n} et démontré que ( v_n ) est croissante. De plus, cette suite est majorée par 1, donc converge vers une limite l_1.

Je peux montré de même que w_n = u_{2n+1} est décroissante et minorée par 0, donc converge vers une limite l_2.

Comment faire pour montrer que l_1 n'est pas égale à l_2 ?

Merci d'avance!

par **XENSECP** » 11 Oct 2011, 20:57

Point fixe ?

par **Bony** » 11 Oct 2011, 21:02

au contraire, l1=l2

par **Deluxor** » 11 Oct 2011, 21:13

non, les deux suites auxiliaires (u_2n) et (u_2n+1) sont l'une croissante, l'autre décroissante.

par **Bony** » 11 Oct 2011, 21:27

Et alors ?,,,

par **Bony** » 11 Oct 2011, 21:36

Si tu prends

u(n) = 1/n si n pair et -1/n si n impair, tu as bien u(2n) = 1/2n décroissante, u(2n+1) = -1/(2n+1) croissante, et pourtant...

Convergence.

Convergence.

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