Convergence

par **jeje56** » 06 Mar 2010, 09:50

Bonjour,

Je dois montrer la convergence de la série de terme général

où f est continue de [0,1] dans R+

J'arrive à :

Je ne vois pas comment poursuivre...

Merci bcp !

par **girdav** » 06 Mar 2010, 10:00

Salut,
tu veux dire la série je suppose? Sinon tu ne calculerais pas les sommes partielles.
D'ailleurs, comme la fonction à intégrer est bornée on voit que la limite de la suite

est nulle.
Essaie de majorer la valeur absolue du terme général.

par **jeje56** » 06 Mar 2010, 10:05

Oui en effet il s'agit de montrer la convergence de la série...
Une majoration du TG est M/n² où M est le sup de f(t)...

Merci à toi ! ;-)

par **MacManus** » 06 Mar 2010, 10:05

Salut jéjé

En fait tu dois sommer en partant de n= 1
et je pense que tu as voulu exprimer l'exponentielle sous forme de série mais tu n'as pas de n! (n factorielle au dénominateur)

en revanche f est continue sur un compact, elle est en particulier bornée.
Donc, |f|

M. Ensuite tu n'as plus qu'à calculer

et passer à la limite

...grilled

par **Joker62** » 06 Mar 2010, 10:06

Bon ben grillé :p

par **jeje56** » 06 Mar 2010, 10:13

Salut MacManus ! Exact, partir des sommes partielles n'était pas une bonne idée... En fait, j'ai voulu procéder comme dans un exercice ressemblant : montrer la convergence de la série de terme général

et calculer explicitement sa limite...

C'est un peu moins facile...

Edit : en fait on montre la convergence en calculant la somme...

;-)

par **MacManus** » 06 Mar 2010, 10:19

Je me souviens d'avoir rencontré ce genre d'intégrale dans l'épreuve 1 du capes externe 2009 (en cours aussi d'ailleurs). On peut utiliser le lemme de Riemann-Lebesgue.

par **jeje56** » 06 Mar 2010, 10:24

Un prolongement par continuité de la fonction sin(pi*t)/(1-t) sur [0,1] permet de continuer... On trouve la somme égale à l'intégrale de sin(x)/x entre 0 et pi.

Tu passes aussi le CAPES mardi Manu ?

par **MacManus** » 06 Mar 2010, 10:58

Nan je ne le passe pas, j'aurais dû m'inscrire juste pour passer l'écrit, pour me mettre dans l'ambiance, je veux dire même si je ne suis pas admissible ou si je ne désire pas être prof. Comme j'ai suivi l'option maths de l'enseignement au lieu de statistiques (c'est pas trop ma tasse de thé), c'était l'occasion. Et puis de tte façon je n'ai préparé aucune leçon ... ^^

En tout cas j'ai hâte de prendre connaissance des sujets. J'espère que tu vas te donner à fond. Dans ma classe, ils sont 7 à le passer, sur 12.

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