Convergence et suites extraites

[jonses]

Bonjour,

Je suis face à une question, et je ne sais pas du tout comment commencer :

Soit une suite réelle bornée.
On suppose que toutes les suites qui sont extraites de et qui convergent, convergent vers le même réel.

Je dois montrer que la suite en question converge.


Si quelqu'un peut me donner une petite indication pour démarrer je le remercie d'avance.

[Doraki]

Ben déjà, est-ce qu'il y a au moins 1 suite extraite qui converge ?

[Manny06]

Ben déjà, est-ce qu'il y a au moins 1 suite extraite qui converge ?

utilise le th de Bolzano Weierstrass

[jonses]

On dispose bien d'une suite extraite qui converge vu que le théorème de Bolzano Weierstrass nous assure que toute suite de réel bornée admet une suite extraite convergente.

Est-ce que utiliser cette suite extraite qui converge peut être un moyen pour démarrer ?
Si oui, je vois pas vraiment

[Maxmau]

Bj
essaie par l'absurde

[lionel52]

Soit L cette limite on raisonne par l'absurde
Il existe e > 0 et une suite extraite Vn telle que |Vn - L| > e pour tout n
(Vn) est bornée elle aussi ...

[jonses]

Je vais essayer sous cet angle, puis je vais vous dire ce que ça me donne.

Merci en tout cas

[Maxmau]

Je vais essayer sous cet angle, puis je vais vous dire ce que ça me donne.

Merci en tout cas

tu supposes que la suite u ne converge pas

[chan79]

tu supposes que la suite u ne converge pas

il y a une suite extraite qui converge vers L.
Si u converge, elle converge vers L.
Si u ne converge pas vers L, tu dois pouvoir trouver une suite extraite convergente qui ne converge pas vers L.

[Maxmau]

il y a une suite extraite qui converge vers L.
Si u converge, elle converge vers L.
Si u ne converge pas vers L, tu dois pouvoir trouver une suite extraite convergente qui ne converge pas vers L.

Si u ne converge pas, limInf(u) et limSup(u) sont distinctes et ce sont 2 valeurs d'adhérence de la suite u.