Convergence de suites extraites

[Ainow]

Bonjour,
Je viens sur ce forum car je me trouve bloqué et je cherche des indications dans une démonstration que je cherche à faire , l'énoncé est le suivant :
" on a k suite bornée (Un1 , Un2 ,Un3 ...Unk) , montrer qu'il existe une extraction ϕ telle que ∀ 1≤p≤k , Up(ϕ ) converge. "
J'avais dans l'idée de faire une démonstration par récurrence , l'initialisation est vrai pour une seule suite d'après le theorème de Bolzano-Weierstrass) mais je n'arrive pas à continuer.

[Ben314]

On part de la suite .
Elle est bornée donc on peut en extraire une sous-suite convergente (avec strictement croissante)
On regarde maintenant la suite
. . .

[Ainow]

Du coup pour chaque suite on peut extraire une sous suite convergente,
En appliquant la définition de la limite à chaque suite , il existe un rang à Nk tel que pour tout n>N on a
-ε<Uk-ak<ε (ak étant la limite de la suite ) . Du coup pour que ça fonctionne pour assurer la convergence de chaque suite, j'avais dans l'idée de poser N = Max(N1,N2,N3....,NK) tel que si ϕ(n) >N on a l'écart entre les termes de la suite et la limite comprise dans l'intervalle -ε<Uk-ak<ε du coup chaque suite serait convergente. J'avais cette idée là mais je suis pas trop sur