Convergence simple et uniforme

[eratos]

Salut.
tome iv analyse de Monier, les exos n'ont pas de corrigés vraiment détaillés, et j'ai besoin de comprendre ce que sont ces notions de convergences et de pouvoir écrire de belles rédactions, c'est une question de vie ou de mort :we: :
on demande d'étudier la convergence simple et uniforme des suites d'applications suivantes:
.

La convergence simple se démontre facilement, ce n'est ni plus ni moins que l'étude de convergence d'une suite comme on en voit depuis tout petit (si j'ai bien compris):
on fixe un x dans R:
f_n(x) converge donc vers 0(x)=0... bien sûr ça fonctionne pour n'importe quel réel.

(ca se complique) convergence uniforme?: contrairement à la simple, ici la convergence ne dépend de x.
A ce stade du cours, on a pas 36 théorèmes. f_n converge uniformément vers f ssi sup|| (ici=sup) tend vers 0 quand x décrit R.

Si on prend =1/n (déjà est-ce qu'on a le droit? pour la convergence simple, x NE DOIT pas dépendre de n, mais ici on prend x indifféremment , c'est THE point délicat),

on minore le sup par càd 1/2. Et pis du coup supne tendra jamais vers 0. En guise de conclusion, ne converge pas uniformément vers 0.

[eratos]

convergence simple:
soit x dans R:
, ca converge vers 0 c'est réglé.

convergence uniforme:
par le même raisonnement qu'au dessus, à supposer qu'il vaut quelque chose, (1/) + (passage à la limite) ne tend pas vers 0 donc pas de convergence uniforme?.

[chan79]

Salut.
tome iv analyse de Monier, les exos n'ont pas de corrigés vraiment détaillés, et j'ai besoin de comprendre ce que sont ces notions de convergences et de pouvoir écrire de belles rédactions, c'est une question de vie ou de mort :we: :
on demande d'étudier la convergence simple et uniforme des suites d'applications suivantes:
.

La convergence simple se démontre facilement, ce n'est ni plus ni moins que l'étude de convergence d'une suite comme on en voit depuis tout petit (si j'ai bien compris):
on fixe un x dans R:
f_n(x) converge donc vers 0(x)=0... bien sûr ça fonctionne pour n'importe quel réel.

(ca se complique) convergence uniforme?: contrairement à la simple, ici la convergence ne dépend de x.
A ce stade du cours, on a pas 36 théorèmes. f_n converge uniformément vers f ssi sup|| (ici=sup) tend vers 0 quand x décrit R.

Si on prend =1/n (déjà est-ce qu'on a le droit? pour la convergence simple, x NE DOIT pas dépendre de n, mais ici on prend x indifféremment , c'est THE point délicat),

on minore le sup par càd 1/2. Et pis du coup supne tendra jamais vers 0. En guise de conclusion, ne converge pas uniformément vers 0.

salut



ne pourra donc pas être rendu aussi proche de 0 qu'on veut quel que soit x

la convergence n'est pas uniforme

[Doraki]

Si on prend =1/n (déjà est-ce qu'on a le droit? pour la convergence simple, x NE DOIT pas dépendre de n, mais ici on prend x indifféremment , c'est THE point délicat),
.

Ca dépend si tu veux montrer que la convergence est uniforme ou si tu veux montrer qu'elle l'est pas.

Pour montrer que la convergence vers 0 est uniforme, on te donne , et tu dois trouver un n (qui dépend de ) tel que pour tout m >= n et pour tout x, fm(x) =n et fm(x) >= .

En l'occurence, la convergence n'est pas uniforme et on peut même le montrer en prenant m=n systématiquement : il faut alors trouver un (1/2) et une suite (xn) (xn = 1/n) telle que f(xn) >= et c'est ce que t'as fait.
Pour fn(x) = 1/(1+(x+n)²), là encore la convergence n'est pas uniforme et tu dois encore chercher une suite (xn) qui va bien.

[eratos]

Merci beaucoup :lol3:

A l'aide de quantificateurs, la négation de conv unif:
tels que et .

Donc pour la conclusion, j'écris:
Soit
soit
en prenant n=m et , on a:
=1/2 >1/3 et Ce qui prouve que la suite n'est pas uniformément convergente.

[Doraki]

Bon c'est du chipotage, mais évite d'utiliser la même tournure "soit machin = ..." et "soit truc dans ...". Même si on sait de quel quantification il s'agit en regardant si tu mets un = ou un "appartient à", il vaut ptetre mieux adopter un style qui différencie un peu plus les quantificateurs.

Genre "prenons/choisissons ;) = ... / soit ;) le réel défini par ... " et "fixons un n \in N quelconque / soit n un élément arbitraire de N"