L'idée est que ton
dépend dans le cas de la convergence simple à la fois de
et de x. Alors que dans la convergence uniforme, il ne dépend plus que de
.
Si tu veux, la convergence uniforme, c'est très fort parce que quel que soit
, tu peux trouver un rang qui "couvre" tout l'intervalle (de sorte qu'au-dessus de ce rang on soit très près de f), alors que pour la convergence simple, il peut ne pas y avoir de tel rang : en gros la convergence se fait à la même "vitesse" pour tout x. C'est le même problème que la continuité uniforme par rapport à la continuité simple.
La force de la convergence uniforme est qu'elle laisse stable la continuité.
