Convergence simple et uniforme

[mehdi-128]

Bonjour,

j'ai du mal à comprendre la différence entre les 2 convergences avec les quantificateurs :

Si A est un sous ensemble de E, on dit que la suite (fn) converge simplement (1) ou uniformément (2) sur A si :

(1)

(2)

Et aussi dans le cas 2 j'arrive pas à comprendre pourquoi la convergence uniforme est équivalente à :



Je comprends pas d'où sort le Sup

Merci d'avance je suis un peu perdu avec tout ça.

[capitaine nuggets]

Salut !

Dire que la suite converge uniformément vers signifie que , où désigne la norme uniforme sur .

Où alors, peut-être plus simplement, étant donné un ensemble non vide, tu as toujours si et seulement si . Il suffit de se souvenir que par définition, la borne sup est le plus petit majorant d'un ensemble.

[Ben314]

Salut,
Si tu continue un peu à faire des maths., il faut ABSOLUMENT comprendre la différence entre ces deux trucs :

(1)
(2)

Dans le cas (1), vu où il est placé, le a le droit de dépendre non seulement de , mais il a aussi le droit de dépendre de alors que dans le cas (2) ce même ne droit de dépendre que de et pas de .
En fait, ça signifie que, dans le cas (1), la "vitesse" à laquelle fn(x) tend vers f(x) peut dépendre de x (pour certains , ça "tend rapidement", mais pour d'autres, ça va moins vite, voire pas vite du tout) alors que dans le (2), ça va "à la même vitesse pour tout les .

L'idéal, comme toujours, c'est de voir ce que ça donne à l'aide d'un exemple : si on prend I=[0,1[ (ouvert en 1) et , montre uniquement avec la définition (donc avec le (1)) que la suite de fonctions converge simplement vers la fonction nulle sur I=[0,1[.
Et donne même le "meilleur" (i.e. le plus petit) possible.
Ensuite déduit en (toujours uniquement avec la définition, c'est à dire avec le (2) et sans utiliser un quelconque théorème) qu'il n'y a pas convergence uniforme de sur I=[0,1[.

(2)

Sinon, concernant ta deuxième question, vérifie que la partie en bleue çi dessus dit exactement la même chose que puis que le début de la phrase (resté en noir) dit précisément que ce sup (qui dépend de n) tend vers 0 lorsque n tend vers l'infini.

[pascal16]

Convergence simple :
à x fixé, fn(x) tend vers une valeur
exemple : x^n sur [0;1] converge simplement vers 0 sur [0;1[ et 1 en 1.
en particulier, on peut perdre la continuité par passage à la limite

Convergence uniforme :
pour tout x de l'ensemble de départ étudié, on sait majorer |fn-f| et cette valeur tend vers 0.
en particulier, on garde la continuité par passage à la limite

[mehdi-128]

Salut !

Dire que la suite converge uniformément vers signifie que , où désigne la norme uniforme sur .

Où alors, peut-être plus simplement, étant donné un ensemble non vide, tu as toujours si et seulement si . Il suffit de se souvenir que par définition, la borne sup est le plus petit majorant d'un ensemble.

Merci c'est très clair pour le Sup

[mehdi-128]

Salut,
Si tu continue un peu à faire des maths., il faut ABSOLUMENT comprendre la différence entre ces deux trucs :

(1)
(2)

Dans le cas (1), vu où il est placé, le a le droit de dépendre non seulement de , mais il a aussi le droit de dépendre de alors que dans le cas (2) ce même ne droit de dépendre que de et pas de .
En fait, ça signifie que, dans le cas (1), la "vitesse" à laquelle fn(x) tend vers f(x) peut dépendre de x (pour certains , ça "tend rapidement", mais pour d'autres, ça va moins vite, voire pas vite du tout) alors que dans le (2), ça va "à la même vitesse pour tout les .

L'idéal, comme toujours, c'est de voir ce que ça donne à l'aide d'un exemple : si on prend I=[0,1[ (ouvert en 1) et , montre uniquement avec la définition (donc avec le (1)) que la suite de fonctions converge simplement vers la fonction nulle sur I=[0,1[.
Et donne même le "meilleur" (i.e. le plus petit) possible.
Ensuite déduit en (toujours uniquement avec la définition, c'est à dire avec le (2) et sans utiliser un quelconque théorème) qu'il n'y a pas convergence uniforme de sur I=[0,1[.

(2)

Sinon, concernant ta deuxième question, vérifie que la partie en bleue çi dessus dit exactement la même chose que puis que le début de la phrase (resté en noir) dit précisément que ce sup (qui dépend de n) tend vers 0 lorsque n tend vers l'infini.

Pour la suite de fonction (fn) avec n différent de 0 :
donc ça marche pour et on peut prendre
Donc (fn) converge simplement sur I vers 0.
Pour la convergence uniforme j'ai pas d'idée...

Pour la deuxième partie, la partie de gauche renvoie à la définition de convergence avec les epsilons. Après la partie bleue signifie que pour tout x appartenant à A avec M le majorant
Or le Sup sur A est le plus petit des majorants donc si alors forcément donc

On retrouve la définition de la convergence avec les epsilons pour une suite par exemple.

[Ben314]

donc ça marche pour et on peut prendre
Donc (fn) converge simplement sur I vers 0. <= NON

Non, ça va pas du tout : pour qu'il y ait convergence, il faut que, pour tout epsilon, on ait... :
(1)
Alors que toi, tu ne montre qu'une seule chose, c'est que c'est vrai pour UN epsilon, à savoir epsilon=1.

Bref, c'est comme si on te demandait de montrer que "tout les chats sont gris" et que tu réponde "ben, oui, c'est vrai, celui de ma voisine est gris" : ça ne prouve évidement pas le truc demandé (mais ça prouve pas non plus que c'est faux alors que si le chat de ta voisine n'était pas gris, là, ça permettrait de conclure que l'assertion de départ est fausse).

[mehdi-128]

donc ça marche pour et on peut prendre
Donc (fn) converge simplement sur I vers 0. <= NON

Non, ça va pas du tout : pour qu'il y ait convergence, il faut que, pour tout epsilon, on ait... :
(1)
Alors que toi, tu ne montre qu'une seule chose, c'est que c'est vrai pour UN epsilon, à savoir epsilon=1.

Bref, c'est comme si on te demandait de montrer que "tout les chats sont gris" et que tu réponde "ben, oui, c'est vrai, celui de ma voisine est gris" : ça ne prouve évidement pas le truc demandé (mais ça prouve pas non plus que c'est faux alors que si le chat de ta voisine n'était pas gris, là, ça permettrait de conclure que l'assertion de départ est fausse).

Donc je laisse epsilon quelconque ? Comment je vais trouver mon n0 alors ?

Pour la convergence uniforme je crois avoir trouvé :

donc il n'y a pas convergence uniforme car ça tend pas vers 0 quand n tend vers + l'infini.

Sauf que j'ai un doute pour le Sup sur [0,1[ et pas ça marche quand même pour le plus petit des majorants si on a inférieur stricte ?

[mehdi-128]

Comment montrer que fn(x)=x^n converge simplement vers 0 sur [0,1[ avec les epsilons ?

[Ben314]

Pour x dans ]0,1[ et epsilon>0 tout les deux fixés, on a x^n<epsilon <=> n.ln(x)<ln(epsilon) <=> n>ln(epsilon)/ln(x) [vu que ln(x)<0].
Donc si on prend un entier n0 plus grand que ln(epsilon)/ln(x), (donc n0 dépend de epsilon et de x) alors on a :
n>n0 => n>ln(epsilon)/ln(x) => x^n<epsilon

Par contre, si on fixe uniquement epsilon et qu'on cherche un n0 qui marche pour tout les x de ]0,1[, ben il faudrait que n0>ln(epsilon)/ln(x) pour tout les x de ]0,1[ et c'est pas possible vu que ln(epsilon)/ln(x) peut être rendu aussi grand qu'on veut en prenant x proche de 1 [à condition que epsilon soit dans ]0,1[ de façon à ce que ln(epsilon)<0]
Donc il n'y a pas de tel n0 ce qui signifie qu'il n'y a pas convergence uniforme sur ]0,1[.

[mehdi-128]

Pour x dans ]0,1[ et epsilon>0 tout les deux fixés, on a x^n<epsilon <=> n.ln(x)<ln(epsilon) <=> n>ln(epsilon)/ln(x) [vu que ln(x)<0].
Donc si on prend un entier n0 plus grand que ln(epsilon)/ln(x), (donc n0 dépend de epsilon et de x) alors on a :
n>n0 => n>ln(epsilon)/ln(x) => x^n<epsilon

Par contre, si on fixe uniquement epsilon et qu'on cherche un n0 qui marche pour tout les x de ]0,1[, ben il faudrait que n0>ln(epsilon)/ln(x) pour tout les x de ]0,1[ et c'est pas possible vu que ln(epsilon)/ln(x) peut être rendu aussi grand qu'on veut en prenant x proche de 1 [à condition que epsilon soit dans ]0,1[ de façon à ce que ln(epsilon)<0]
Donc il n'y a pas de tel n0 ce qui signifie qu'il n'y a pas convergence uniforme sur ]0,1[.

Merci donc le n0 est : ?
Vous avez exclu le 0 de l'intervalle car le logarithme n'est pas défini en 0 alors qu'on étudiait la continuité sur [0,1[ on a le droit ?

Pour la convergence uniforme le problème est que le n0 tend vers l'infini en 1 c'est ça ?
Je comprends pas l'intérêt d'avoir un epsilon <1 pour avoir ln(epsilon)<0 ça change quoi si epsilon est positif ? On aura toujours ln(epsilon)/ln(x) qui tend vers l'infini quand x tend vers 1