Convergence en probabilité

[sniperamine]

Bonsoir ;
Soit (Xn) une suite de variables aléatoires iid et f une fonction continue sur R
1) On considère la variable aléatoire Tn=1/n sigma(f(Xi)) de i=1 jusqu'à n
Etudier la limite de Tn au sens de la convergence en probabilité .
2) On appelle espérance géométrique G la limite en probabilité de la moyenne géométrique Gn=(Pi(Xi))^(1/n) de i=1 ... i=n .
a) donner l'expression de G
b) Calculer G dans le cas où les var aléatoires Xi suivent la loi lognormale LN(mu, nu²)
3) On suppose que les var al Xi suivent une loit de poisson P(landa) calculer la limite en probabilité de la var al Un=sigma(1/(1+Xi)) de i=1...n
Si vous aviez des pistes pour résoudre la 3éme question je vous en remercie d'avance :)

[Vahngal]

Bonsoir ;
Soit (Xn) une suite de variables aléatoires iid et f une fonction continue sur R
1) On considère la variable aléatoire Tn=1/n sigma(f(Xi)) de i=1 jusqu'à n
Etudier la limite de Tn au sens de la convergence en probabilité .
2) On appelle espérance géométrique G la limite en probabilité de la moyenne géométrique Gn=(Pi(Xi))^(1/n) de i=1 ... i=n .
a) donner l'expression de G
b) Calculer G dans le cas où les var aléatoires Xi suivent la loi lognormale LN(mu, nu²)
3) On suppose que les var al Xi suivent une loit de poisson P(landa) calculer la limite en probabilité de la var al Un=sigma(1/(1+Xi)) de i=1...n
Si vous aviez des pistes pour résoudre la 3éme question je vous en remercie d'avance

Tu peux peut-être utiliser l'inégalité de Bienaymé-Tchébychev et prier pour que la Variance V(Un) ait un facteur 1/n ou quelque chose dans le genre pour que la limite tende vers 0 ( d'où convergence en probabilité vers E(Un))...

[sniperamine]

Tu peux peut-être utiliser l'inégalité de Bienaymé-Tchébychev et prier pour que la Variance V(Un) ait un facteur 1/n ou quelque chose dans le genre pour que la limite tende vers 0 ( d'où convergence en probabilité vers E(Un))...

Merci pour votre réponse mais je ne vois pas comment je peux calculer la variance ? ( sinon j'ai une urgence je reviens après une semaine ) désolé si je vous répondrai pas

[Vahngal]

Merci pour votre réponse mais je ne vois pas comment je peux calculer la variance ? ( sinon j'ai une urgence je reviens après une semaine ) désolé si je vous répondrai pas

Tu n'as pas indiqué le domaine de définition des Xi... Gênant pour la suite.

Tu définis Yi=g(Xi) avec g application de {xi1,...,xin} dans R tel que g(Xi)= 1/(1+Xi). Si Xi est une variable aléatoire iid alors Yi est aussi une variable aléatoire iid.

On a alors Un= sigma (Yi) i=1..n

E(Un) = E(sigma (Yi)) = sigma (E(Yi)) = n * E(Yi) (car iid)

Or d'après le théorème de transfert et si Xi est à valeurs dans N : E(Yi) = E(g(Xi)) = sigma ( g(xi)* P(Xi=x)) x allant de 0 à +infini ???(là est la question)

Et comme Xi suit une loi de Poisson de paramètre lambda :

Alors:

Pour la variance ça m'a l'air nettement plus compliqué...
Mais bon ce que j'ai fait est selon l'hypothèse que les Xi prennent leurs valeurs dans N ( ce qui permet d'avoir un jolie expression de l'espérance quand on a une loi de Poisson)

Et taper en TEX pour moi c'est :marteau:

[sniperamine]

Tu n'as pas indiqué le domaine de définition des Xi... Gênant pour la suite.

Tu définis Yi=g(Xi) avec g application de {xi1,...,xin} dans R tel que g(Xi)= 1/(1+Xi). Si Xi est une variable aléatoire iid alors Yi est aussi une variable aléatoire iid.

On a alors Un= sigma (Yi) i=1..n

E(Un) = E(sigma (Yi)) = sigma (E(Yi)) = n * E(Yi) (car iid)

Or d'après le théorème de transfert et si Xi est à valeurs dans N : E(Yi) = E(g(Xi)) = sigma ( g(xi)* P(Xi=x)) x allant de 0 à +infini ???(là est la question)

Et comme Xi suit une loi de Poisson de paramètre lambda :

Alors:

Pour la variance ça m'a l'air nettement plus compliqué...
Mais bon ce que j'ai fait est selon l'hypothèse que les Xi prennent leurs valeurs dans N ( ce qui permet d'avoir un jolie expression de l'espérance quand on a une loi de Poisson)

Et taper en TEX pour moi c'est :marteau:

Merci pourvotre aide et désolé pour le retard de toute façon je vous ai prévenu lol

[sniperamine]

E(Un) = E(sigma (Yi)) = sigma (E(Yi)) = n * E(Yi) (car iid)

C'est n*E(Y1) par exemple