Convergence en moyenne de Césaro

[Aragorn]

Salut tout le monde, j'aurais besoin d'un petit coup de main :

Soit (xn) une suite réelle.
On définit la suite (yn) par :
Pout tout entier naturel, yn=1/(n+1)(somme de k=0 à n de xk)

1) Montrer que si (xn) est bornée , la suite (yn) l'est également. Réciproque?

2) a.Montrer que si (xn) converge vers 0, il est en est de même de la suite (yn).
Utiliser la définition de la limite pour cette démonstartion
Ce résultat est connu sous le nom de convergence en moyenne de Césaro.
b. Montrer que si la suite (xn) est convergente,(yn) l'est également et que la limite est la même.
c. Réciproquement, si (yn) converge, (xn) est-elle convergente?

Merci d'avance

[fahr451]

bonjour

qu as tu su faire?

[Aragorn]

Bonjour
Pour la 1ere question j'ai encadré (xn) par deux réels d'apres la définition d'un suite bornée. Ensuite j'ai essayé de bidouiller pour encadrer (yn) par deux réels mais sans réussite.
Pour la qestion 2., je vois pas pourquoi utiliser la définition de la limite absolument : il suffit je pense de dire que le produit d'un suite convergeant vers 0 par une suite bornée est un suite convergeant vers 0...

A mon avis cet exercice n'est pas très dur mais il faut savoir d'où partir et quoi utiliser !

[fahr451]

pour bornée il suffit de sommer tes encadrements et de diviser par n+1

pour la convergence la définition est NECESSAIRE car il y a un nombre de plus en plus grand dans la somme

cet exercice est technique

prendre epsilon , écrire en terme de n0 que la suite x tend vers 0 et ds la somme donnant yn couper en n0