Convergence dans C

[RDC]

Bonjour,

J'aimerais démontrer que la suite , où , converge pour tout . J'essaye de montrer que c'est une suite de Cauchy, en exprimant le module de la différence , où , mais là je bloque...
Si quelqu'un a une idée, je suis preneur !

[Kolis]

Puisque tu connais la convergence et limite de tu peux calculer la différence (il est facile d'exprimer ...) et tu montres par récurrence que ce qui donne une relation simple entre et et permet de conclure que converge et obtenir sa limite.

Attention pour la "relation simple" : tu ne peux pas mettre des complexes dans des inégalités !...

[Ben314]

Salut,
Si tu parle de convergence simple, ça sert à rien d'avoir deux paramètres et et ça coûte rien de prendre .
Ensuite, si on connait l'exponentielle et les logarithmes complexes, ça règle le problème de façon immédiate.
Et sinon, si tu l'exponentielle et le logarithme réel, tu montre facilement que la suite des modules converge et c'est pas trop difficile (par encadrement) de montrer que la suites des arguments aussi (modulo 2 pi).
Après, si tu tient absolument à le faire en montrant que la suite est de Cauchy et sans utiliser la limite connue (donc sans utiliser de log ni réels, ni complexes), ça doit aussi être jouable avec des encadrements.

[gianpf]

Bonjour

Puis on développe le logarithme
Et on obtient comme limite
Est-ce correct ?

[Ben314]

Bonjour

Puis on développe le logarithme
Et on obtient comme limite
Est-ce correct ?

Oui, modulo de parfaitement maîtriser les logarithmes complexes, donc de préciser lequel on utilise et, bien sûr, de vérifier que l'argument que l'on donne à ce log complexe est bien dans le domaine de définition qu'on a choisi pour ce log là.
Ici, vu que tend vers 1, il suffit de choisir un logarithme qui soit bien défini au voisinage de 1 pour que ça marche donc par exemple le logarithme "usuel" défini sur et qui donne comme résultat des complexes de partie imaginaire dans .