Convercence d'une intégrale

[djinn]

Bonjour,

Comment montrer que l'intégrale suivante est convergente ?


Merci :zen:

[Nightmare]

Salut,

Au choix chercher un équivalent simple en 1 ou -1 ou une majoration simple.

[Finrod]

Déjà c'est pair, ce qui restreint le problème à [0,1].

Ensuite, un chgt de variable en u=1-x² (ce n'est qu'une possibilité parmis d'autres) donne une intégrale de entre 0 et 1.

Ce dénominateur est équivalent à au voisinage de 0 et on sait que cela donne une fonction dont l'intégrale cv.

[Ben314]

Salut,
A la limite, dans ce cas particulier, il y a aussi une autre solution : montrer qu'elle converge en... la calculant à l'aide d'un changement de variable.

Mais il vaut mieux commencer par comprendre les "outils" permettant dans le cas général de montrer la C.V. d'une intégrale impropre.

[alavacommejetepousse]

bonsoir

à l'extrème limite on peut aussi connaitre la dérivée d'arcsin

[Ben314]

bonsoir

à l'extrème limite on peut aussi connaitre la dérivée d'arcsin

Je dirais même plus, à l'extrème limite on peut aussi connaitre la dérivée d'arcos...

[dudumath]

Je dirais même plus, à l'extrème limite on peut aussi connaitre la dérivée d'arcos...

Il chipote cela dit ça revient au même de passer par l'un ou l'autre

[djinn]

Déjà c'est pair, ce qui restreint le problème à [0,1].

Ensuite, un chgt de variable en u=1-x² (ce n'est qu'une possibilité parmis d'autres) donne une intégrale de entre 0 et 1.

Ce dénominateur est équivalent à au voisinage de 0 et on sait que cela donne une fonction dont l'intégrale cv.

Merci Finrod, j'en suis arrivé au même résultat que toi en prenant u=1-x² et en considérant que était paire.
Par contre je n'arrive toujours pas à prouver que converge. Peux tu m'éclairer.

Bien sûre se serait plus évidant en passant par l'arccos ou l'arcsin, mais ma problématique est d'essayer de donner une définition à ceux-ci.

[Ben314]

(Re) Salut,
L'outil "standard" pour montrer la convergence des intégrales impropre est la notion d'équivalent.
Lorsque u tend vers 0, est équivalent à qui est bien intégrable en 0 (une primitive est qui admet une limite en 0).

Lorsque u tend vers 1, tu as super intérêt à poser avec h qui tend vers 0 d'où est équivalent à qui est bien intégrable en 0.

[djinn]

merci ben314