Ici, l'hypothèse demande à ce que la distance entre An et Bn devienne proche de 1 lorsque n grandit.
Pour essayer de chercher des contre exemple, on imagine un An pas trop crade, en l'occurrence les constantes ou les suites usuelles marchent souvent, et on essaye de créer Bn pour casser l'implication.
Ici, on voulait trouver Bn qui n'ait pas un comportement régulier mais qui se rapproche à distance 1 de An. On dessine An, on dessine les deux "bandes" à distance 1 de An (celle du dessous et celle du dessus), et on regarde si on ne peut pas faire se rapprocher des points de ses bandes sans qu'ils se comportent régulièrement.
La première idée qui vient est de prendre des points de plus en plus près des bandes mais successivement pris près de la bande supérieure puis près de la bande inférieure, autrement dit on se rapproche de An à distance 1 mais on alterne en étant en dessous puis au dessus etc.
Au final, la distance de An et Bn tend bien vers 1 mais Bn ne risque pas de converger ou d'être monotone vu l'alternance de ses termes. Cette alternance, c'est exactement (-1)^n qui nous la donne.
