Continuïté petit problème

[ilies77]

Salut à tous, étant nouveau je m'excuse si je ne poste pas dans la bonne section du forum .

J'ai une petite question je suis en pleine révision pour mon examen, et il y'a un exercice que je peine à comprendre , voici l'énoncé :

Soit f une fonction continue de R dans R telle que

lim f (en moins l'infini) = lim f (en + l'infini) = - l'infini.

Montrer que f est majorée et atteint sa borne supérieure .

Je tiens à préciser bien évidemment que ce n'est pas un DM à rendre ou quoi que ce soit mais seulement des exercices de révision (il y'a même une correction que je peux fournir si besoin)


Merci d'avance
Cordialement,

Iliès

[jlb]

Salut, tu as besoin des définitions des limites en +oo et -oo et d'un théorème à propos de fct continue sur un intervalle fermé borné pour résoudre l'exercice.

[pascal16]

partons de c= f(0).
la limite de f en -oo est -oo, donc, il existe a<=-10 tel que pour tout x<=a, f(x)<=c-1
la limite de f en +oo est -oo, donc, il existe b>=10 tel que pour tout x>=b, f(x)<=c-1

le -10/+10 permet d'avoir a,0 et b dans cet ordre et c-1 de gérer les cas particuliers

sur [a;0] f continue, atteint donc ses bornes, soit M1 son max (, M1>= f(0))
sur [0;b] f continue , atteint donc ses bornes, soit M2 son max (M2>= f(0))
si on pose M= max(M1;M2) est alors le maximum de f sur R (car forcément plus grand que c-1=f(0)-1, donc majorant sur ]-oo;a]U[b;+oo[ et maximum sur [a;b] par construction).

on peut prendre f(pi), f( 1 000000000), f(-13541,12+ 9) comme point de départ, ça n'a aucune importance, il suffit d'adapter.

[ilies77]

Concernant les définitions je les ai (je crois que c'est celles-ci ) :

- Il existe A > 0 tel que pour tout x<-A on a F(x) < alpha

- Il existe B > 0 tel que pour tout x>B on a F(x) < alpha

Concernant le théorême je ne suis pas sur un intervalle fermé ici car c'est de R dans R, d'où mon incompréhension , voici la correction de l'exercice

[ilies77]

partons de c= f(0).
la limite de f en -oo est -oo, donc, il existe a<=-10 tel que pour tout x<=a, f(x)<=c-1
la limite de f en +oo est -oo, donc, il existe b>=10 tel que pour tout x>=b, f(x)<=c-1

le -10/+10 permet d'avoir a,0 et b dans cet ordre et c-1 de gérer les cas particuliers

sur [a;0] f continue, atteint donc ses bornes, soit M1 son max (, M1>= f(0))
sur [0;b] f continue , atteint donc ses bornes, soit M2 son max (M2>= f(0))
si on pose M= max(M1;M2) est alors le maximum de f sur R (car forcément plus grand que c-1=f(0)-1, donc majorant sur ]-oo;a]U[b;+oo[ et maximum sur [a;b] par construction).

on peut prendre f(pi), f( 1 000000000), f(-13541,12+ 9) comme point de départ, ça n'a aucune importance, il suffit d'adapter.

Tout d'abord merci de ta réponse , hm je vois pourquoi on peut prendre n'importe quel point de départ, Cependant là j'ai l'impression de prouver qu'elle est majoré sur [a,b] et non sur R

[jlb]

oui, tu utilises le th sur [a,b] mais zalors relis ce que tu sais quand x<a ou x>b quand tu utilises les définitions des limites.
Compare en particuliers f(0) et M!!

[pascal16]

oui, elle est majorée sur [a;b], il faut donc bien choisir a et b.

je part d'une valeur de f, ici, c'est f(0).

je veux être plus petit que f(0), je prend f(0)-1.

f tends en -oo vers -oo, donc elle est à un moment toujours plus petite que f(0)-1.
pour éviter que la définition de la limite me donne une borne a >=0, j'impose en plus que a<=-10. La limite s'applique 'proche de -oo, j'ai le droit d'imposer de travailler sur ]-oo,-10] pour la limite en -oo.
sur ]-oo,a], f est majorée par f(0)-1,

idem sur [b;+oo[, f est majorée par f(0)-1

le maximum de f est alors forcément sur [a;b], ce sont des bornes que je sais qu'elles existent, mais je ne connais pas leur valeur, on a peut être a=-10 et b = 1242540125432123435454,2154. Mes définitions de a et b sont implicites, liées aux limites de f.

[ilies77]

Aaaaaaaaah effectivement j'ai compris, je suis idiot lol c'était simple mais j'ai cherché trop compliqué dans la correction..

Après pour montrer que f atteint sa borne supp je suppose que comme on a montré que le max de la fonction est entre a et b , et que la fonction est continue sur [a,b] elle l'atteint forcément c'est ça?

[pascal16]

illustration avec les valeurs de ta solution

sur ]-oo;a], on a f(x) <= f(0)
sur [b:+oo[, on a f(x) <= f(0)
sur [a;b], on a f(x)<=M , M est une valeur prise par f et de plus f(0)<=M.
sur R entier, on a f(x) <=M et M est bien une valeur prise par f, c'est donc son maximum.

[ilies77]

hm je vois , ça me parait tiré par les cheveux mais j'ai compris, merci beaucoup ^^