Connexité et point fixe

[Fedd]

bonsoir,
quelques définitions d'abord
X (est un espace topologique) possède la propriété du point fixe, si toute application continue f de X dans X admet un point fixe sur X
( si X possède la propriété du point fixe => alors X est connexe )
mon problème est de montrer cette implication en supposant que X n'est pas connexe et donc j'ai l'existence de deux ouverts disjoints non vides O1 et O2 qui partitionnent X, et construire une fonction f de X dans X qui n'a pas de point fixe :

est ce que à votre avis f(x)=x si x appartient à O1
f(x)=-x sinon
cette fonction ferait l'affaire
sinon un peu d'aide serait le bienvenue!!
Merci

[Nightmare]

Salut !

Euh, l'identité fixe tous les points de n'importe quel espace, ce n'est pas pour autant que tout espace est connexe !

[ffpower]

-x ca veut pas dire grand chose dans un espace topologique non?et en posant f(x)=x,c est mal barré pour que f soit sans point fixe..

[ffpower]

Salut !

Euh, l'identité fixe tous les points de n'importe quel espace, ce n'est pas pour autant que tout espace est connexe !

propriété du point fixe=toute fonction continue admet un point fixe et non pas "il existe une fonction continue ayant un point fixe"

[yos]

j'ai l'existence de deux ouverts disjoints non vides O1 et O2 qui partitionnent X, et construire une fonction f de X dans X qui n'a pas de point fixe

Une fonction qui envoie un ouvert sur un point de l'autre.

[Nightmare]

propriété du point fixe=toute fonction continue admet un point fixe et non pas "il existe une fonction continue ayant un point fixe"

Ce n'est pas ce qui était écrit, d'où ma réaction.

[ffpower]

Ah oui en effet,j avais pas bien lu

[Fedd]

d'abord je vous remercie pour vos réponses!!
je crois avoir trouvé
comme O1 et O2 sont non vides donc il existe a appartenant à O1 et a' appartenant à O2 et biensûr a est différent de a' autrement O1 et O2 ne seront plus disjoint

et donc en prenant la fonction f: qui va de X dans X et tel que :
f(x) = a' si x appartient à O1
f(x) = a si x appartient à O2

cette fonction est continue sur O1(car constante) et sur O2(car constante) et donc continue sur X (car O1 intersection O2 est vide) et elle n'admet pas de point de fixe autrement a=a' contradiction

[kazeriahm]

coup de boule ?

[Fedd]

c'est un délire que seul moi et mes potes peuvent comprendre!!

[Nightmare]

Ou n'importe quel élève qui a fait de la topologie au final.