Connexité de GLn(C)

[Madarivo]

Bonjour à tous,

Voilà, je suis en train de bosser la démonstration de la connexité de Gln(C), que j'ai globalement comprise. Seulement, un p'tit point que je ne comprends pas, même si à mon avis c'est vraiment bête.

En fait, pour montrer que GLn(C) est connexe, on montre bien sûr qu'il est connexe par arcs. Donc que pour tout A,B dans GLn(C), il existe un chemin gama de [0,1] dans GLn(C) continu tq gama(0) = A et gama(1) = B. Seulement, dans la démo que j'ai, on me dit qu'il suffit de montrer que pour tout A dans GLn(C), il existe gama de [0,1] dans GLn(C) continu tq gama(0) = A et gama(1) = Id.

Je le sens que c'est vraiment con, mais j'ai aucun recul là^^

Merci à tous !

[adrien69]

Bonjour à tous,

Voilà, je suis en train de bosser la démonstration de la connexité de Gln(C), que j'ai globalement comprise. Seulement, un p'tit point que je ne comprends pas, même si à mon avis c'est vraiment bête.

En fait, pour montrer que GLn(C) est connexe, on montre bien sûr qu'il est connexe par arcs. Donc que pour tout A,B dans GLn(C), il existe un chemin gama de [0,1] dans GLn(C) continu tq gama(0) = A et gama(1) = B. Seulement, dans la démo que j'ai, on me dit qu'il suffit de montrer que pour tout A dans GLn(C), il existe gama de [0,1] dans GLn(C) continu tq gama(0) = A et gama(1) = Id.

Je le sens que c'est vraiment con, mais j'ai aucun recul là^^

Merci à tous !

Si tu as deux chemins, l'un qui va de Paris à Rome et l'autre de Naples à Rome, alors tu as un chemin de Paris à Naples.

[Madarivo]

Oui je comprends bien... Mais l'histoire du [0,1], dans l'"union des deux chemins", on peut le faire par densité ? Et c'est quoi le chemin depuis l'identité vers n'importe quelle matrice ? En fait, géométriquement je comprends bien la connexité, mais à ce niveau là...

[adrien69]

Oui je comprends bien... Mais l'histoire du [0,1], dans l'"union des deux chemins", on peut le faire par densité ? Et c'est quoi le chemin depuis l'identité vers n'importe quelle matrice ? En fait, géométriquement je comprends bien la connexité, mais à ce niveau là...

Eh bien si tu as deux chemins,
continu
continu

avec

Tu poses
h : pour t dans[0,1/2]
h : sinon

Et tu as un chemin continu h entre et

Ensuite pour ce qui est du chemin entre une matrice inversible et l'identité, tu trigonalises ta matrice et tu fais un chemin continu (convenablement, sans passer par quoi que ce soit de non inversible) de tes coefficients diagonaux vers 1 et de ceux au dessus de la diagonale vers 0.