Groupe GLn(K)

[Pseuda]

Bonjour,

A mon avis ce n'est pas le livre qui est en cause, mais l'interprétation qu'en a fait coco7513. En effet, la démonstration de GLn(K) groupe de Mn(K) ressemble à s'y méprendre à la démonstration d'un sous-groupe. Mais dans le livre, ils ne doivent certainement pas parler de sous-groupe.

[coco7513]

Mais quand je regarde dans plusieurs livres ou sur internet, c'est fait comme ça :
- pour tout A,B dans Gln(K), AB est dans Gln(K)
-In est dans Gln(K)
-(A-1)A=A(A-1)=In
Ce qui ressemble ETRANGEMENT à la définition d'un sous groupe... donc j'aimerais quelques explications si possible...

GLn(K) n'est donc le sous-groupe d'aucun groupe multiplicatif de Mn(K). D'où l'énoncé est bizarre : on ne peut pas montrer que GLn(K) est un groupe en montrant que c'est un sous-groupe d'un groupe "connu". Mais on peut s'économiser avec l'associativité et le neutre In vérifiés par tous les éléments de Mn(K).

Bon, ben les gars, p'têt qui faudrait apprendre à lire... (les messages précédents).
On peut tout à fait dire que GLn(K) est un sous groupe de quelque chose (à isomorphisme prés).
Il suffit de dire que GLn(K) c'est le groupe des matrice représentant les applications linéaires bijectives de K^n dans K^n qui est contenu dans l'ensemble des bijections de K^n dans K^n (qui est un groupe).

P.S. (@coco7513) : tu peut me dire dans quel bouquin tu as trouvé ton truc texto (i.e. sans explication concernant le pourquoi du comment) (histoire que je conseille à mes étudiants... de ne surtout pas prendre celui là à la B.U.)

Donc Gln(K) isomorphe à GL(K^n) (automorphisme de K^n) qui est lui-même un sous groupe de Bij(K^n) (ensemble des bijections de K^n dans K^n). D'accord merci !

P.S Je ne veux pas faire de la mauvaise pub car ce livre m'aide énormément, c'est le J-M Monier MPSI algèbre p240 nouvelle édition!

[Pseuda]

Bonsoir,

@coco7513 D'accord GLn(K) est isomorphe au groupe des automorphismes de K^n, lui-même contenu dans le groupe des bijections de K^n dans K^n.

Mais il n'existe pas d'isomorphisme je pense entre le groupe des bijections de K^n dans K^n et un groupe qui serait contenu dans Mn(K) et contenant GLn(K). Tu ne peux pas l'utiliser pour démontrer que GLn(K) est un sous-groupe (ce qui est faux, à part de lui-même).

Je m'étonne d'une telle erreur dans un livre.