Composition de polynômes

[Ben314]

Salut,
Suite au post de Dinozzo, je me suis posé une question (à la con évidement).

Etant donné un polynôme Q de K[X], y-a-t'il un moyen simple et rapide de repérer si Q=PoP (composée) pour un certain polynôme P ?
Et Q=PoPoP ?

Plus généralement (ou peut-être moins ?), toujours pour Q fixé, que peut on dire de l'ensemble des polynômes P tels que PoQ=QoP ?
Il y a évidement P=X, P=Q, P=QoQ,... mais est-il facile de savoir s'il y en a d'autres ? sont-ils tous de la forme PoPo...oP pour un certain polynôme P ?

Enfin, les solutions de la deuxième question donne t'elles "mécaniquement" les solutions de la première question ?

[Finrod]

Déjà, il faut que deg(Q) soit un carré pour qu'il soit possible de l'exprimer comme composé de deux polynomes.

Un cube pour trois etc...

Après, pour deg(Q)=1, Q=aX+b, j'ai comme condition a>0.

Plus généralement, j'ai l'impression que ça revient à se poser la question pour les endomorphismes d'algèbre de R[X].

[mohn]

Salut,
Tout petit élément de réponse :

sont-ils tous de la forme PoPo...oP pour un certain polynôme P ?

X² "commute pour la composition" avec tous les X^k, mais on ne peut trouver de P qui "engendre" les X^k...
(euh en fait prendre Q=X permet de conclure)

[Ben314]

Salut,
Tout petit élément de réponse :

X² "commute pour la composition" avec tous les X^k, mais on ne peut trouver de P qui "engendre" les X^k...
(euh en fait prendre Q=X permet de conclure)

C'est pas faux...

Bon, perso, j'ai griffoné 3 anneries au brouillon pour voir rien que P(aX+b)=aP(X)+b et... c'est déjà bien le bordel... (alors qu'en fait, vu l'idée que j'avais derrière la tête, c'est évidement avec des polynômes de degrés au moins 2 que ça pourrait être interessant)

Edit, en fait, je me demande s'il y aurait pas des truc à dire "à la galois" du fait que, si QoP=PoQ alors le polynôme P agit sur les points fixes de Q, c'est à dire les racines de Q(X)-X...

[mohn]

après avoir un peu farfouillé sur google :

Julia aurait répondu à la question de savoir quels sont les polynomes qui commutent entre eux dans le cas complexe :
Soit ils sont les itérés d'un même polynômes
Soit ils sont affinement conjugués, via un même polynome de degré 1, à des polynômes de Tchebychev (ie ils sont tous les deux de la forme et , avec A polynôme de degré 1, l'inverse de A étant bien sûr l'inverse pour la composition)
Soit ils sont affinement conjugués, via un même polynome de degré 1, à des X^k.

Je n'ai pas trouvé la démo, mais ai cru comprendre qu'elle ne me serait pas accessible de toutes façons...

[Ben314]

Effectivement, ça répond à la question...