Composition, injectivité...

[qaterio]

Bonjour, j'aimerai simplement savoir si mon exo est bon.

Soient E un ensemble et f une fonction de E dans E. On suppose que la composé de f par f vaut f. Montrer que si f est injective ou surjective, alors f=IdE.

Supposons fof=f. Montrons par double implication que (f injective ou surjective)<=>(f=IdE).
(=>) soit x élément de E et supposons f injective. On sait que f(f(x))=f(x). Comme la fonction f est injective, on en déduit que f(x)=x. ceci étant valable pour tout élément x de E, on trouve que f=IdE.
(<=)Supposons f=IdE. C'est-à-dire que pour tout élément x de E, f(x)=x. On sait que f(f(x))=f(x), on en conclut que la fonction f est injective et donc que la fonction f est injective ou surjective.

Nous avons montré, par double implication, que fof=f =>((f injective ou surjective)<=>(f=IdE)).

Alors ce qui me titille, c'est que je sais pas si c'est cette implication qu'il fallait montrer, ou bien alors rentré le fof=f dans la première implication. Mais j'ai fais comme ça car ils ont dit que l'on suppose fof=f, j'imagine que c'est pour tout l'exercice... Et si j'ai utilisé la bonne implication, est-ce que c'est juste ?
Merci d'avance.

[pascal16]

On sait que f(f(x))=f(x). Comme la fonction f est injective, on en déduit que f(x)=x

pourquoi ?
tu ne démontre pas le pont clé de la démo.

[LB2]

Bonjour,

je ne suis pas d'accord avec Pascal : ton raisonnement est juste.
C'est simplement utiliser l'injectivité de la fonction : x et f(x) ont même image par f, donc sont égaux.

En revanche, l'exercice ne te demandait pas de prouver une équivalence, mais une implication.
La preuve est donc terminée à la fin de =>.

EDIT : bien sûr il faut aussi traiter le cas où f est surjective!

De plus, il est trivial que si f=IdE, alors f est bijective, donc injective et surjective, donc injective ou surjective.

Ton paragraphe de fin est très obscur pour moi.

Un petit exo dans le même genre :

Soit E un ensemble, f et g des applications de E dans E.

On suppose pour tout x dans E, f(g(x))=x,
Montrer alors que f est surjective et g est injective.

[qaterio]

Je dois aller en cours, j'y réfléchi pour tout à l'heure, je tiens au courant de ce que j'aurai fait pour arranger ça. J'imagine qu'il faut utiliser la surjectivité pour dire f(x')=f(x) (x'=f(x)), et vu que la fonction f est injective, x=x', c'est-à-dire f(x)=x, à voir.

[qaterio]

LB2,
Du coup c'était bon avant ou c'est mieux avec ce que j'ai rajouté, comme ça on emploie pas l'injectivité pour la même variable x.
Je m'en occupe vers 13h30 de ton exo, j'aime bien m'entraîner sur l'injectivité et la surjectivité, ça consolide le raisonnement car il faut bien penser à se servir des définitions, j'enverrai la réponse sur ce message.
A tout à l'heure et merci.

[qaterio]

Juste avant de partir, pour tenir compte de ce que vous avez dit, même si au final c'était bon comme ça, suppsons f surjective, pour tout x' de E il existe x de E tel que f(x)=x', en posant x'=f(x) dans f(f(x))=f(x), on obtient f(x')=x', ceci étant vrai pour tout élément x' de E, on en déduit que f=IdE. Voilà.

[pascal16]

Comme tu avais la réponse, dire "car f est injective", c'est de la recopie d'énoncé, mais on ne sais pas si ton cheminement est le bon ou pas.

c'est tout simplement quelques mots qui permettent au correcteur de comprendre que tu as pigé ce que tu écrivais : "f(x)=x', en posant x'=f(x) dans f(f(x))=f(x), on obtient f(x')=x' ".
Tu distingues bien x et x', c'est propre.

D’ailleurs, on peut rédiger à l'envers le cas surjectif.
on part d'un élément x' quelconque de f(E), on démontre comme tu as fait que f(x')=x' (apporté par la relation)
et f surjective => f(E)=E. Donc on a bien IdE.

[Kolis]

Sans rien contredire de ce qui précède...
Il est bon de savoir (en mettant le contexte permettant de faire les compositions) que
Si est injective alors
Si est surjective alors .

[Ben314]

Comme tu avais la réponse, dire "car f est injective", c'est de la recopie d'énoncé, mais on ne sais pas si ton cheminement est le bon ou pas.

Ca, à mon sens, c'est comme d'habitude :
- Si on pose ce type de question à un Lycéen ou à un Bac+epsilon, là, oui, on attend qu'il soit écrit (*) :
f(f(x))=f(x) donc f(x)=x car, vu que f est injective, on a f(a)=f(b) => a=b et il suffit d'appliquer ce résultat à a=f(x) et b=x.
- Si on te pose ce type de question dans le concours d'entré à l'X, ou dans tout autre concours/exam de niveau fin de L2 alors d'écrire autre chose que
f(f(x))=f(x) donc f(x)=x car f est injective
c'est une perte de temps.

Et ça va exactement dans le même sens que, du temps où je donnais des cours particulier à des collégiens, tant que je n'était pas absolument sûr et certain que le bidule était compris, je leur imposait d'écrire en entier :
3x+5=7
signifie que 3x=2 en retranchant 5 des deux cotés
signifie que x=2/3 en divisant par 3 des deux cotés.
Et j'espère que tu te doute que mes attentes, au niveau de la rédaction ne sont "pas tout à fait les mêmes" quand j'enseigne en L3...

(*) Et encore, ce que je peut te dire en temps que correcteur, c'est que sur une copie de début de L1, si je lit uniquement "f(f(x))=f(x) donc f(x)=x car f est injective", le fait que je mette tout les points ou pas à cette partie là, ben ça va dépendre... du reste de la copie... (et les nombreux collègue à qui j'ai posé la question pour savoir s'ils se comportaient de la même façon m'ont répondu "oui")

[Ben314]

Et pour continuer dans la série, c'est exactement pareil pour la surjectivité :
Niveau bac + epsilon, ce qui est attendu, ça serait :
Soit y un élément quelconque de E. Comme f est supposée surjective, il existe un x de E tel que y=f(x).
On a donc f(y)=f(f(x))=(fof)(x)=f(x)=y=Id(y) vu que, par hypothèse, fof=f.
Ceci étant vrai pour tout y de E, cela prouve que f=Id
Alors que, niveau L3, ça me semble plus que suffisant d'écrire :
Comme f est surjective, tout y de E s'écrit f(x) donc l'hypothèse signifie que f(y)=y donc que f=Id

[qaterio]

@Pascal16, @Ben314,
Donc enfaîte, pour un niveau bac +1, y'a que ma démonstration avec la surjectivité qui prouvait que j'avais compris. Si je voulais le démontrer avec l'injectivité, j'aurai juste dû en rappeler la définition dans ma démonstration, comme le dit @Kolis, et ça aurait été bon ?
Et par exemple, en supposant f surjective et injective (bijective), comment j'aurai du rédiger pour appliquer l'application réciproque ?

[Ben314]

@Pascal16, @Ben314,
Donc enfaîte, pour un niveau bac +1, y'a que ma démonstration avec la surjectivité qui prouvait que j'avais compris. Si je voulais le démontrer avec l'injectivité, j'aurai juste dû en rappeler la définition dans ma démonstration, comme le dit @Kolis, et ça aurait été bon ?
Et par exemple, en supposant f surjective et injective (bijective), comment j'aurai du rédiger pour appliquer l'application réciproque ?

J'ai pas tout lu en détail de tout les posts, mais ce dernier post de ta part, il donne l'impression que tu n'a pas compris que, pour démontrer que (A ou B) => C, ce que tu doit démontrer, c'est que A => C et que B =>C.
Donc tu doit démontrer que (fof=f et f injective) => f=Id et tu doit aussi démontrer que (fof=f et f surjective) => f=Id.

Pour comprendre ce fait, on peut raisonner
- Soit "naïvement" : le type que te dit "S'il fait moins de 10° ou plus de 30° alors je m’habillerais différemment" ce qu'il dit, c'est que "S'il fait moins de 10° alors je m’habillerais différemment et s'il fait plus de 30° alors je m’habillerais différemment".
- Soit de façon "carré carré" en utilisant le fait que P => Q, ça signifie non(P) ou Q donc que (A ou B) => C, ça signifie non(A ou B) et C c'est à dire non(A) et non (B) et C qu'on peut écrire (non(A) et C) et (non(B) et C) [ vu que (C et C) = C ] c'est à dire (A => C) et (B => C).

[qaterio]

@Ben314,
Non en effet, je n'avais pas compris, je pensais que si l'injectivité donné l'implication, ce la prouvait que l'injectivité ou la surjectivité donnait l'implication.

[pascal16]

Et ça va exactement dans le même sens que, du temps où je donnais des cours particulier à des collégiens, tant que je n'était pas absolument sûr et certain que le bidule était compris, je leur imposait d'écrire en entier :
3x+5=7
signifie que 3x=2 en retranchant 5 des deux cotés
signifie que x=2/3 en divisant par 3 des deux cotés.
Et j'espère que tu te doute que mes attentes, au niveau de la rédaction ne sont "pas tout à fait les mêmes" quand j'enseigne en L3...

Et il faut recommencer niveau bac avec les inégalité utilisant LN liées aux suites géométriques(grosse confusion entre LN croissante conserve l'ordre et ln(0.5)<0 donc inversion de l'inégalité si je divise par LN(0.5))

[LB2]

si une application est surjective mais pas injective, elle est également "surjective ou injective".
C'est pour ça qu'il faut effectuer les deux cas.

[qaterio]

@LB2, @Ben314
Voilà pour ton exercice, à voir si c'est bon...
On veut montrer: (∀x∈E, f(g(x))=x) ⇒(f(x) surjective et g(x) injective).
Montrons la contraposée (qui a la même valeur de vérité):
(f(x) n'est pas surjective ou g(x) n'est pas injective)⇒(∃x∈E, f(g(x))≠x).

Soit x∈E, supposons f(x) injective c'est-à-dire ∀(x,x')∈E², (f(x)=f(x'))⇒x=x', supposons f non surjective, c'est-à-dire ∃x∈E, ∀x'∈E, f(x')≠x et supposons g surjective, c'est-à-dire ∀x'∈E, ∃x∈E, g(x)=x'. Nous avons donc bien supposé f(x) n'est pas surjective OU g(x) n'est pas injective. Comme g est surjective, nous pouvons poser x'=g(x), l'expression ∃x∈E, ∀x'∈E, f(x')≠x devient ∃x∈E, f(g(x))≠x, c'est ce qu'il fallait démontrer.
Nous avons donc montré, par contraposition que pour tout élément x de E, f(g(x))=x implique que f(x) est surjective et g(x) injective.

Est-ce que c'est bon?

PS: Ben314, j'ai tenu compte de ce que tu m'as dit, j'ai tout détaillé pour montrer que je savais ce que je marquais.

[LB2]

Bonjour qaterio,

tu commets une erreur de raisonnement classique et pourtant horrible : surjectif et injectif ne sont pas des notions contraires l'une de l'autre. Non injectif n'est pas (du tout) la même chose que surjectif.

C'est comme confondre une suite décroissante et une suite non croissante.

Sinon, au niveau de ton raisonnement, tu peux en théorie utiliser la contraposée et tu as correctement nié les propositions, mais la contraposée n'est pas nécessaire ici et c'est même plus un boulet qu'autre chose.

Bonne recherche

[Ben314]

@LB2, @Ben314
Voilà pour ton exercice, à voir si c'est bon...
On veut montrer: (∀x∈E, f(g(x))=x) ⇒(f(x) surjective et g(x) injective).
Montrons la contraposée (qui a la même valeur de vérité) :
(f(x) n'est pas surjective ou g(x) n'est pas injective)⇒(∃x∈E, f(g(x))≠x).

Soit x∈E, supposons f(x) injective c'est-à-dire ∀(x,x')∈E², (f(x)=f(x'))⇒x=x', supposons f non surjective, c'est-à-dire ∃x∈E, ∀x'∈E, f(x')≠x et supposons g surjective, c'est-à-dire ∀x'∈E, ∃x∈E, g(x)=x'. Nous avons donc bien supposé f(x) n'est pas surjective OU g(x) n'est pas injective. Comme g est surjective, nous pouvons poser x'=g(x), l'expression ∃x∈E, ∀x'∈E, f(x')≠x devient ∃x∈E, f(g(x))≠x, c'est ce qu'il fallait démontrer.
Nous avons donc montré, par contraposition que pour tout élément x de E, f(g(x))=x implique que f(x) est surjective et g(x) injective.

Est-ce que c'est bon?

PS: Ben314, j'ai tenu compte de ce que tu m'as dit, j'ai tout détaillé pour montrer que je savais ce que je marquais.

Non, c'est pas bon du tout :
- Commençons par un "détail" (mais quand même un peu important) f(x) surjective c'est un non-sens : f(x) c'est un élément de F (si f:E->F) et ça ne veut rien dire qu'un élément de F est surjectif.
Ce qui est surjectif (ou pas), c'est une fonction donc ce que tu doit écrire, c'est "f est surjective" ou bien "xf(x) est surjective" (et dans ce dernier cas où tu décrit la fonction sous la forme x ???, tu est sensé préciser avant ou après quels est l'ensemble de départ et d'arrivé considéré vu que ces derniers ne sont pas décrits par cette notation)
- Montrons la contraposée (qui a la même valeur de vérité) : : là, c'est pas que c'est faux, mais c'est "archi couillon" vu qu'en procédant directement (i.e. sans contraposé), ça tient deux lignes.
- Nous avons donc bien supposé f(x) n'est pas surjective OU g(x) n'est pas injective : là, c'est de "l'énorme n'importe quoi" : tu as écrit toi même que tu supposait f était injective et que f était non surjective et que g surjective ce qui représente un "minuscule" cas particulier du cas "f non surjective OU g non injective" à considérer.
J'ai pas regardé en détail la suite, mais de toute façon ça sert pas à grand chose vu que là, c'est comme si pour montrer qu'un truc est vrai pour tout x>0 tu te contenant d'étudier le cas où 1.2 < x <1.4 : quelque soit la conclusion, ça ne prouvera sûrement pas que le truc est vrai pour tout x>0.

[qaterio]

@LB2,
Je vais réessayer sans passer par la contraposée, mais si f n'est pas surjective, elle peut être injective, car si elle est injective, elle n'est pas nécessairement surjective... Enfaîte c'est que j'ai pas assez bien rédigé pour les suppositions ?

[Ben314]

@LB2,
Je vais réessayer sans passer par la contraposée, mais si f n'est pas surjective, elle peut être injective, car si elle est injective, elle n'est pas nécessairement surjective... Enfaîte c'est que j'ai pas assez bien rédigé pour les suppositions ?

Je comprend rien de ce que tu raconte : le truc VRAI, c'est que de savoir que f est ou n'est pas injective, ben ça ne donne absolument aucune info concernant le fait qu'elle est ou n'est pas surjective (sauf bien sûr avec des hypothèses supplémentaires du style qu'on raisonne avec des ensembles finis de même cardinal)


En plus, à mon avis, si tu veut démontrer un résultat de ce type, autant montrer directement le résultat suivant :
Si fog est bijective alors f est surjective et g injective
voire même les deux résultats :
Si fog est surjective alors f est surjective
Si fog est injective alors g injective
C'est exactement la même preuve que dans le cas où on suppose que fog=Id et c'est bien plus général.