Composition des séries formelles exponentielle/logarithme

[schelde]

Bonjour à tous,

Si l'on considère les séries formelles



et



Y-a-t-il un moyen simple (pas trop calculatoire) qui permettre de voir que la composition des séries
donne ? (Sans se préoccuper des histoires de convergence [ça, c'est un autre problème que j'ai réussi à gérer...]). Je parle juste de l'égalité entre les deux séries formelles.

Quelqu'un peut-il m'aider ?

Merci d'avance

[Lostounet]

Salut,
Quelle que soit la série formelle h dans 1 + X K[[X]], la série L(h - 1) est l'unique élément de X K[[X]] de dérivée h'/h (appelée Logarithme).
Pour l'exponentielle, pour toute série g de X K[[X]], la série E(g) est l'unique élément f de 1 + X K[[X]] tel que f'/f = g.

Les applications g donne E(g) et h donne L(h) sont réciproque s l'une de l'autre, car
L(E(g)) a pour dérivée g' * E(g)/E(g) = g'
Et g a pour dérivée g',
Avec de plus le même terme constant 0.
donc elles sont égales.

Par ailleurs, f = E(L(h)) a pour dérivée f' = h'/h* f
La fonction (f/h) a donc une dérivée nulle.
(Il s'ensuit que f/h est constante)

Comme f et h ont même terme constant (valant 1) elles sont donc égales.

Donc Exp et Log sont bien réciproques l'une de l'autre dans l'anneau des séries formelles.

[aviateur]

Bonjour
Ma réponse est différente. La dérivée formelle de exp(X) est : exp(X).
La dérivée formelle de Log(1+X)=1/(1+X) (facile à vérifier)
La dérivée formelle de la composée est donc
....

[GaBuZoMeu]

Soient et deux fonction au voisinage de l'origine, avec . Alors la série de Taylor à l'origine de est égale à la composée des séries de Taylor.
On peut le montrer pour polynôme et ensuite passer à la limite en approchant par les parties régulières de son développement limité.

Application : et . On peut le faire pour et .

[aviateur]

Soient et deux fonction au voisinage de l'origine, avec . Alors la série de Taylor à l'origine de est égale à la composée des séries de Taylor.
On peut le montrer pour polynôme et ensuite passer à la limite en approchant par les parties régulières de son développement limité.

Application : et . On peut le faire pour et .

Soit pour et
ça marche ton théorème avec cette fonction g qui vérifie les hypothèses?

[GaBuZoMeu]

Oui bien sûr, puisque c'est un théorème. Tu en doutes ?

Je détaille un petit peu la démonstration. Je note la série de Taylor à l'origine de la fonction . Je note la partie régulière du développement limité à l'ordre de , c'est la série de Taylor tronquée à l'ordre .
Je veux montrer que (rappel : est et s'annule à l'origine).
J'ai . En effet, est un polynôme, et est un morphisme de -algèbres (le seul point un peu compliqué, , c'est Leibniz).
On voit que est d'ordre et que
est aussi d'ordre . Comme c'est vrai pour tout entier , l'égalité annoncée est démontrée.

[aviateur]

C'est pas un doute mais une incompréhension de la démonstration. Surtout la la deuxième étape, le passage à la limite, ça serait bien de préciser comment ça se passe. En effet ma fonction g et la fonction nulle ça pose pas problème?

Ceci étant dit, ce n'est pas la question, du moins telle que je l'ai comprise. Certes il évoque des histoires de convergence mais il est bien question de séries formelles.
Il y a ici deux séries formelles que l'on compose et il demande une démonstration pour l'expression de la composée. Donc c'est une démonstration uniquement basées sur les séries formelles uniquement (sans repasser par séries de fonctions qui leur sont associées, bien que néanmoins elles jouent rôle dans la démarche).

[aviateur]

Bon mon dernier message a été fait avant ta réponse donc je regarde .
Oui d'accord pour le th et la démo. Comme je ne voyais pas la démo, j'avais un doute pour ce qu'il se passait pour 2 fonctions différentes ayant le même développement de Taylor.
Mais je reste sur mon idée de départ concernant sur la façon de répondre (peut être aussi ce que @lostounet à fait aussi de même?) .
On a 2 séries formelles que l'on compose. Démontrer que le résultat est X. Pour moi, a priori , on n'utilise pas que les séries sont réciproques l'une de l'autre (même si on le sait).
Perso je le démontre tout simplement en dérivant formellent la composée et j'arrive au résultat. De plus le fait qu'elles sont réciproques l'une de l'autre et une conséquence immédiate.
Tandis que toi tu utilises le fait que tu sais qu'elles sont réciproques l'une de l'autre (par l'intermédiaire des séries de fonctions associée) et donc automatiquement tu as le résultat.
Je ne dis pas ce que tu fais est faux mais que ta réponse ne correspond pas à la question,du moins, telle que je l'ai comprise.

[GaBuZoMeu]

Ce que j'ai démontré répond à la question, et même plus qu'à cette question - sauf bien sûr si on fait semblant de ne pas savoir quelle est la série de Taylor de l'exponentielle et celle de .
On ne sait pas que les séries sont réciproques l'une de l'autre ; c'est précisément ça la question. Ce qu'on démontre, c'est que les séries de Taylor de deux fonctions réciproques sont des séries formelles réciproques, ce qui est bien sûr un corollaire immédiat du fait que la série de Taylor d'une composée est la composée des séries de Taylor - quand la composition fait sens. Mais ceci, je le répète, n'est pas "automatique", ça demande une démonstration que j'ai faite.
J'ai l'impression que dans ce que tu écris, tu ne fais pas de distinction nette entre une fonction (objet d'analyse) et sa série de Taylor (objet d'algèbre, il s'agit d'une série formelle). Des fonctions différentes peuvent avoir même série de Taylor, et toute série formelle (même non convergente) est série de Taylor d'une fonction .

[aviateur]

J'ai l'impression que dans ce que tu écris, tu ne fais pas de distinction nette entre une fonction (objet d'analyse) et sa série de Taylor (objet d'algèbre, il s'agit d'une série formelle). Des fonctions différentes peuvent avoir même série de Taylor, et toute série formelle (même non convergente) est série de Taylor d'une fonction .

Où est-ce que tu as vu que je ne fais de distinction nette? Ce n'est pas parce que je n'ai pas le même point de vue sur la question qu'il faut aller dire que je fais de la confusion entre une fonction et une série formelle qui lui serait associée.
Par contre, pour éclaircir ton propos que j'ai mis en gras, tu peux donner un exemple de série formelle non convergente?
Et puis, si je considère la série formelle quelle est l'allure locale en x=0, de la fonction dont elle serait la série de Taylor d'après toi? Ou plus précisément, c'est quoi le voisinage de de la fonction

[GaBuZoMeu]

Où est-ce que j'ai vu que tu ne fais pas de distinction nette entre une fonction et sa série de Taylor ? Tout simplement dans ce que tu as écrit :

Tandis que toi tu utilises le fait que tu sais qu'elles sont réciproques l'une de l'autre (par l'intermédiaire des séries de fonctions associée) et donc automatiquement tu as le résultat.

Bon, ce n'est pas très clair, mais tu as l'air de penser qu'il suffit de savoir que deux fonctions sont réciproques l'une de l'autre pour que leurs séries de Taylor soient automatiquement réciproques l'une de l'autre. Encore une fois, ça n'a rien d'automatique et ça demande une démonstration - que j'ai faite.

L'autre point : le fait que toute série formelle (convergente ou non) est la série de Taylor à l'origine d'une fonction différentiable. C'est un théorème de Borel. Je te renvoie à un excellent texte de Malgrange
https://books.google.fr/books?id=i35Uw0X_6u0C&pg=PA3#v=onepage&q&f=false
qui contient une démonstration de ce théorème, ainsi qu'un exemple explicite de fonction sur qui a pour série de Taylor à l'origine
Que veux-tu dire par "le voisinage de de la fonction " ??? Pourrais-tu préciser ?

[aviateur]

Bon ici je n'ai pas les moyens de lire ton pdf.
Pour une discussion éventuellement plus approfondie il faudra que je puisse lire
Mais pourtant ma question est claire
qu est ce que tu appelles une série formelle non convergente.
Est ce si compliqué de donner la définition ?

D'autre part je demande de préciser ton propos hormis l'existence d'une fonction f, C infini qui admet pour série de Taylor la série formelle que j'ai donné en exemple
Je te demande de préciser cette fonction, je suppose qu'elle est définie au moins dans un voisinage de x=0
Oui non ?
Alors est-ce que tu peux en dire plus sur cette fonction sinon que de dire qu'une telle fonction existe ?
Je ne demande que d'éclaircir ton propos. Que peut on dire ou ne pas dire sur une telle fonction.
Pas de démo mais uniquement que de l'information

[GaBuZoMeu]

Je suis surpris de la façon assez systématiquement négative avec laquelle tu réagis à ce que j'écris.
De quel pdf parles-tu ? J'ai mis un lien sur une page web où s'affiche le texte, ce n'est pas un pdf, ça s'affiche même sans problème sur mon téléphone.

Définition de série formelle convergente : c'est la définition utilisée par tous les gens qui s'intéressent aux fonctions analytiques, je pensais que tu la connaissais. Excuse moi. Une série formelle réelle ou complexe est dite convergente quand son rayon de convergence est non nul. Ça va, ou faut-il que je définissse "rayon de convergence" ?

La réponse à tes autres questions est contenue dans le texte que l'on peut voir en cliquant sur le lien dans mon message. Je recopie : un exemple explicite de fonction sur dont la série de Taylor à l'origine est est :

C'est une solution de l'équation différentielle . Si on veut comme série de Taylor , il suffit de diviser l'exemple ci-dessus par .

Une petite remarque : le domaine de définition de la fonction peut toujours être . En effet, si on a une fonction définie sur un intervalle , il suffit de la multiplier par une fonction dont le support est contenu dans cet intervalle et qui vaut sur ; ça ne change pas la série de Taylor à l'origine.

[aviateur]

Bon je crois que je vais arrêter là.
Simplement je vais faire la synthèse de mon point de vue par rapport à la question. @shelde prendra ce qui lui convient:
Mon point de vue: On a 2 séries formelles S(X)=exp(X)-1 (d'ordre >0) et T(X)=log(1+X).
La composée T(S(X)) est bien définie et la question est de démontrer de façon simple (pas trop calculatoire) que la composée vaut X.
Grosso modo: ma réponse est donc de calculer la dérivée formelle de T(S(X)) qui fait intervenir T et S' et qui sont facile à calculer et on trouve que la dérivée vaut 1. En remontant on arrive facilement au résultat.
Je suis resté dans le cadre purement formel et je n'utilise pas le fait que "les fonctions log et exp(x) sont réciproques.
La deuxième réponse possible (nota: je ne dis pas que c'est faux mais pour moi c'est pas la question)
On utilise que le fait que les 2 fonctions dans un voisinage de 0, ln(1+x) et exp(x)-1 ont pour composée la fonction identité. Alors la composée des 2 séries de Taylor est X. C'est pas la même démarche mais je fais remarquer qu'il n'est pas utile de passer par les séries formelles, le cours sur les DL donne la réponse .

[GaBuZoMeu]

Apparemment, tu es satisfait de mes informations sur le théorème de Borel, puisque tu n'en parles plus.
Si tu connais un cours sur les développements limités qui démontre que la série de Taylor d'une fonction composée est la composée des séries de Taylor, je veux bien la référence.
Toute cette histoire parce que je proposais une démonstration alternative du résultat demandé, qui me semble-t-il présente un intérêt propre.

[Lostounet]

Bonjour,

Je ne comprends pas ici l'intérêt de parler de fonctions de classe et de développements en série (de Taylor) avec des coefficients donc dans un corps (R ou C).
Les séries formelles sont un objet algébrique initialement sur un anneau commutatif A (unitaire) quelconque (avec des coefficients dans A je veux dire) que l'on peut étudier indépendamment de questions de convergence pour de bonnes raisons, sinon quel serait l'intérêt de chercher à les formaliser d'un point de vue algébrique ?

Après, certes toute contribution sur ce topic est intéressante en soi et est la bienvenue mais je ne vois pas pourquoi on ne chercherait pas à raisonner purement algébriquement (comme ma proposition ou celle d'Aviateur...), et certes il y a plein d'analogies entre les deux cadres mais du point de vue pédagogique...

[GaBuZoMeu]

Voir le message ci-dessous.

[GaBuZoMeu]

Bonjour Lostounet,

D'abord, je me permets de te faire remarquer qu'il n'est nulle part question de convergence (au sens de convergence des séries entières) dans la démonstration que j'ai proposée, contrairement à ce que tu écris. Tu as dû mal lire.

Je reprécise mon approche, ce qui me semble nécessaire puisque tu parles de développement en série entière alors qu'il ne s'agit pas de ça. La série de Taylor à l'origine est un homomorphisme de - algèbres de l'anneau des fonctions au voisinage de l'origine sur l'anneau des séries formelles . Cet homomorphisme préserve aussi la dérivation et (ce dont j'ai rappelé la démonstration) la composition, quand elle est bien définie. Cet homomorphisme permet de transporter des résultats d'analyse en résultats purement algébriques sur les séries formelles.

La démonstration que j'ai proposée répond bien à la question de Schelde. Elle ne remet pas en cause les démonstrations qu'aviateur ou toi ont pu proposer, elle apporte juste une approche différente et complètement justifiée qui permet de traduire les résultats bien connus d'analyse en résultats purement algébriques sur les séries formelles.
Ça ne vous plaît peut-être pas, mais ce n'est pas une raison pour en dégoûter les (éventuels) autres.

[Lostounet]

Effectivement je n'avais pas assez compris les choses comme cela en lisant quelques-uns des messages plus haut.

Je ne disais pas que ça ne me plaisait pas , je demandais juste quelques compléments pour mieux comprendre ton approche tout simplement.

On est là pour discuter après tout !

[Yezu]

Salut,

Merci pour ce (très) intéressant document GaBuZoMeu !