Séries formelles

[ZLM]

Bonsoir, s'il vous plaît aidez-moi à résoudre cet exercice.
Exercice
On considère la série formelles telle que :

,

Montrer que .

[hdci]

est la suite de Fibonacci : il faut commencer par exprimer de façon explicite (savez-vous comment faire? trouver les racines du polynôme et utiliser le fait que l'ensemble des suites vérifiant la relation de récurrence est un espace vectoriel de dimension 2 dont une base est justement constituée des suites géométriques dont la raison sont les racines précédemment trouvées).

Il n'y a plus qu'à injecter cela dans la série, cela fait apparaître une expression de la forme



Ensuite on reconnaît la forme

Il n'y a plus qu'à mettre le tout au même dénominateur et simplifier le résultat.

[Elias]

Bonsoir,

Si on veut pas utiliser la suite de Fibo :



On écrit ensuite que:


Puis que :



On a alors:



Et simplifiant et en isolant , on aboutit au résultat.

Bien sûr, en faisant à tout instant attention à ce que l'on manipule (une série formelle) et en ayant conscience du caractère licite des opérations que l'on mène.

[Kolis]

Bonjour !
Calculer formellement ...

[ZLM]

Bonjour et merci beaucoup à vous tous.
J'obtient le même résultat avec ces trois differents méthodes que vous me donniez. Encore un grand merci à vous trois.