Composition d'applications

[legeniedesalpages]

Bonsoir, je bloque sur ce problème:

Soient trois ensembles, une application de sur , une application de dans .

Pour qu'il existe une application de dans telle que , il faut et il suffit que la relation (où ) entraîne la relation .
L'application est alors déterminée de manière unique.

Je ne vois pas comment montrer la suffisance. Merci pour vos indications

[yos]

Tu définis h sur g(X) en posant h(g(x)=f(x) pour tout x de X; et en dehors de g(X) ... n'importe comment.

[alben]

Bonsoir
Pour tout élément y de Y appartenant à g(X), on a h(y) = f(x) avec x un des antécédents de y par g. La condition permet d'assurer la cohérence puisque h(y) ne dépend pas de l'antécédant choisi. Pour les y qui ne sont pas dans g(X), on peut les envoyer sur un élément quelconque de Z.
Si g n'est pas surjectif, il n'y a donc pas unicité...
edit : grillé...

[legeniedesalpages]

merci yos,

puis-je dire:

Supposons non vide. Soit .
On prend pour tout ?

Edit: Bonsoir Alben merci pour l'explication