Composée de deux homothéties
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lucie68
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par lucie68 » 19 Juin 2009, 11:25
Bonjour, jaimerais démontrer le résultat sur la composée de deux homothéties :
h1=h(O1,k1)
h2=h(O2,k2)
telles que k1k2 soit différent de 1.
Je montre alors l'application composée f admet un unique point fixe O.
Il me faut alors chercher le rapport.
Et c'est là que j'ai un problème.
Je dois montrer que pour tout point M,
OM'=kOM où k=k1k2 en vecteurs où je prime l'image par f.
Et je n'arrive pas à le montrer pour tout point M' , par contre j'arrive à montrer que :
OO1'=k1k2 OO1 en vecteur.
Et je me demandais alors si cela suffisait pour conclure que f était une homothétie !
Merci d'avance :)
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Ericovitchi
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par Ericovitchi » 19 Juin 2009, 17:54
sinon par les nombres complexes on peut dire que

et en déduire facilement z3 en fonction de z1 et donc montrer que c'est encore une homothétie, etc...
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yos
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par yos » 19 Juin 2009, 20:22
Les complexes, ça se limite au plan, ce qui est un inconvénient non négligeable. Reste les formules analytiques réelles, mais c'est pas très joli.
Le mieux est de raisonner avec des vecteurs.
Attention, tu parles de chercher le rapport, mais il faudrait d'abord connaître la nature de la composée. Le fait que f ait un unique point fixe ne suffit pas pour affirmer que f est une homothétie. Donc il ne faut pas parler de rapport tout de suite.
Tu as par h2 puis par h1 :
M ---> N ---> M'
O ---> U ---> O
donc

et

.
Je te laisse finir.
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Zavonen
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par Zavonen » 20 Juin 2009, 22:40
Une homothétie (affine) n'est-elle pas définie comme une application dont l'application vectorielle associée est une homothétie vectorielle ?
Que dire du produit de deux homothéties vectorielles ?
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yos
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par yos » 21 Juin 2009, 05:59
C'est rarement ce qu'on prend comme définition. De plus, ce que tu dis caractérise les homothéties-translations et pas les homothéties.
C'est vrai que dans le supérieur on peut utiliser ça et faire l'exo à l'envers : il restera cependant à trouver le centre de la composée et c'est pas le plus facile.
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Zavonen
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par Zavonen » 21 Juin 2009, 07:55
il restera cependant à trouver le centre de la composée et c'est pas le plus facile
Ben, si tu as O'M'=kOM ('ma' def).
Si k n'est pas égal à 1.
La barycentre de (O',1) (O,-k) est le point fixe cherché.
Cela s'applique également à la composée.
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