Complexe

[Maths-ForumR]

Bonjour, voici mon problème :

Le plan est rapporté à un repère orthonormé R=(O, e1,e2) identifié au plan complexe.
On pose ;)=e^(2i;)/5) ; ;)=;)+;)^4 ; b=;)²+;)^3

1) a- Déterminer une équation du 2nd degrés (E) donc a et b sont les solutions.
1) b- En déduire les valeurs exactes de cos (2;)/5) et cos(4;)/5).

Pour avoir 2 solution il fut que ;)=b²-4ac >0
Mais je ne vois pas comment faire.

Merci d'avance

[mathelot]

bonjour,

quand tu fais

a+b+1

tu obtiens la somme de cinq termes d'une progression géométrique


quand tu calcule le produit

ab

tu as des puissances de que tu peux réduire modulo 5 car



ces remarques devraient te permettre de calculer a+b et ab
et d'obtenir a et b comme racines d'un trinome du second degré.

[Maths-ForumR]

Merci pour la réponse !
Juste pourquoi ajouter 1 à a+b car la suite commence a 1 ?

[mathelot]

oui:::::::::

[mathelot]

le passage délicat est à la fin.

tu exprimes a et b sous forme trigonométrique

tu as calculé disons

faut identifier et

[Maths-ForumR]

Désolé mais je n'y arrive pas en cours on a fais un exo type avec U4 donc on pouvait le décomposer en produit de 2 carré et obtenir facilement les racine mais ici avec le facteur 5 cette méthode ne marche pas ...

[mathelot]

réduis



développe :we:


(développer et réduire via )

[mathelot]

ça permet de réduire les puissances modulo 5 .

[mathelot]

une fois que tu as calculé

a+b

et

ab

écrire

[Maths-ForumR]

Pour la somme j'ai :
(1+a+b) = 1 + e^(2i;)/5) + e^(4i;)/5) + e^(6i;)/5) +e^(8i;)/5)
(1+a+b) = 1 + [ e^(2i;)/5) + e^(4i;)/5) + e^(-4i;)/5) +e^(-2i;)/5) ]
(1+a+b) = 1 + 1 =

Pour le produit je trouve 1

c''est exacte ?

[mathelot]

réduire les arguments modulo

sinon, tu peux travailler avec les littéraux,

[Maths-ForumR]

Oui je viens de voir la simplifiction donc
Pour la somme j'ai :
(1+a+b) = 1 + e^(2i;)/5) + e^(4i;)/5) + e^(6i;)/5) +e^(8i;)/5)
(1+a+b) = 1 + [ e^(2i;)/5) + e^(4i;)/5) + e^(-4i;)/5) +e^(-2i;)/5) ]
(1+a+b) = 1 + 1 =2

Pour le produit je trouve 1

c''est exacte ?

[mathelot]

Oui je viens de voir la simplifiction donc

(1+a+b) = 1 + [ e^(2i;)/5) + e^(4i;)/5) + e^(-4i;)/5) +e^(-2i;)/5) ]
(1+a+b) = 1 + 1

pas compris.

[Maths-ForumR]

e^(6i;)/5) = e^(-4i;)/5)
e^(8i;)/5) = e^(-2i;)/5)

Donc si on additionne e^(2i;)/5) + e^(4i;)/5) + e^(-4i;)/5) +e^(-2i;)/5) ça nous donne 1.
Donc on obtient 2.

[mathelot]

non, ça donne

[Maths-ForumR]

Ah oui pardon donc :

(1+a+b) = 1 + 2cos(2;)/5) + 2cos(4;)/5)

et

ab = w^3 +w^4 + w^6 + w^7
ab = w^5 ( w^-2 + w^-1 + w + w²)
ab = 1 [ e^(-4i;)/5) + e^(-2i;)/5) + e^(2i;)/5) + e^(4i;)/5) ]
ab = 2cos(2;)/5) + 2cos(4;)/5) ? j'ai un doute sur le résultat

[mathelot]

combien vaut

?

[Maths-ForumR]

Ah c'est la somme des terme de la suite géométrique Q^n donc 0

[mathelot]

oui,

1+a+b=0

donc a+b=

développer et réduire le produit ab.

[mathelot]

.....................