Je vous propose un petit exercice qu'un ami en spé m'a proposé et dont j'ai trouvé la résolution sympathique (après je me suis peut être compliqué la vie avec ma preuve).
On se fixe un ouvert de . Montrer que les compacts de sont exactement les fermés bornés.
Une question (probablement stupide mais tant pis) de curiosité : c'est avec quelle norme ? La norme infinie (si oui faut que Omega soit relativement compacte non ?) ? Joli résultat en tout cas.
Bonne question, effectivement ce n'est pas précisé. Cependant la question précédente nécessite la complétude de l'espace. Je suppose donc qu'on munit l'espace des semi-normes où les sont des compacts recouvrant
Nightmare : :happy3:
Quant la completure n'existe pas dans un espace, on travaille avec des semi -normes ? Et si on travaille avec des semi - normes ! peut - t - on transposer la notion de convegrence d'une suite d'éléments de l'espace au moyen de ses semi - normes ?
Merci d'avance ! :happy3:
barbu23 > On peut même exhiber cette suite de compact.
On prend (un) une suite dense dans l'ouvert et de tel sorte que soit incluse dans . On prend alors la réunion dénombrable sur n des boules fermés centrée en u(n) et de rayon , ça semble marcher !
Ensuite pour l'histoire des semi-normes, ici on les considères justement parce qu'elles rendent l'espace complet. Oui effectivement, on peut parler de convergence en semi-norme.
barbu23 a écrit:Bonsoir à tous : :happy3: Pourquoi tout ouvert de est : - compact ? Merci d'avance ! :happy3:
[mode généralisateur fou] Dans un espace métrique séparable localement compact tout ouvert est réunion dénombrable (ou finie) de compacts. [/mode généralisateur fou]
Nightmare a écrit:Ensuite pour l'histoire des semi-normes, ici on les considères justement parce qu'elles rendent l'espace complet. Oui effectivement, on peut parler de convergence en semi-norme.
Sans vouloir encore pinailler pour le plaisir, complet c'est pour une distance en général donc l'énoncé complet (haha) n'est-il pas que l'espace obtenu est métrisable et complet pour cette métrique ?