Compacts de Coo

par **Nightmare** » 11 Mar 2009, 19:45

Bonjour :happy3:

Je vous propose un petit exercice qu'un ami en spé m'a proposé et dont j'ai trouvé la résolution sympathique (après je me suis peut être compliqué la vie avec ma preuve).

On se fixe un ouvert de . Montrer que les compacts de sont exactement les fermés bornés.

Voila, si l'exercice vous intéresse !

:happy3:

par **ffpower** » 11 Mar 2009, 20:12

On prend une suite de fonctions et pour tout k,on applique ascoli a la suite des dérivées k-iemes,et ca a l air de marcher non?

par **Nightmare** » 11 Mar 2009, 20:24

Ouaip j'ai eu la même idée ! Il y a quand même des choses à écrire mais ça découle tout seul quand on a cette idée.

par **ThSQ** » 11 Mar 2009, 22:50

Une question (probablement stupide mais tant pis) de curiosité : c'est avec quelle norme ? La norme infinie (si oui faut que Omega soit relativement compacte non ?) ?
Joli résultat en tout cas.

par **Nightmare** » 11 Mar 2009, 22:59

Bonne question, effectivement ce n'est pas précisé. Cependant la question précédente nécessite la complétude de l'espace. Je suppose donc qu'on munit l'espace des semi-normes

où les

sont des compacts recouvrant

par **Nightmare** » 11 Mar 2009, 23:03

(D'ailleurs ce n'est pas inintéressant de montrer que la topologie induite par ces semi-normes font des

des espaces complets !)

par **ThSQ** » 11 Mar 2009, 23:49

Merci pour ces infos Nightmare,

Nightmare a écrit:des compacts recouvrant

recouvrant ou 'inclus dans' (et d'union = Omega) ?

par **Nightmare** » 11 Mar 2009, 23:56

par **ThSQ** » 12 Mar 2009, 00:01

Je t'ai connu plus sanguin ;)

Merci en tout cas pour les précisions. On doit surement utiliser le fait que tout ouvert de R^n est réunion dénombrable de compacts.

par **barbu23** » 12 Mar 2009, 00:10

Bonsoir à tous : :happy3:
Pourquoi tout ouvert de

est :

- compact ?
Merci d'avance ! :happy3:

par **barbu23** » 12 Mar 2009, 00:13

Nightmare : :happy3:
Quant la completure n'existe pas dans un espace, on travaille avec des semi -normes ? Et si on travaille avec des semi - normes ! peut - t - on transposer la notion de convegrence d'une suite d'éléments de l'espace au moyen de ses semi - normes ?
Merci d'avance ! :happy3:

par **Nightmare** » 12 Mar 2009, 00:20

barbu23 > On peut même exhiber cette suite de compact.

On prend (un) une suite dense dans l'ouvert et

de tel sorte que

soit incluse dans

. On prend alors la réunion dénombrable sur n des boules fermés centrée en u(n) et de rayon

, ça semble marcher !

Ensuite pour l'histoire des semi-normes, ici on les considères justement parce qu'elles rendent l'espace complet. Oui effectivement, on peut parler de convergence en semi-norme.

par **barbu23** » 12 Mar 2009, 00:29

Merci "Nightmare" ! :happy3:

par **Nightmare** » 12 Mar 2009, 00:29

Je me suis gouré dans mon rayon : On prend les 1/n e(n)

Edit : Ah bah non, je m'étais pas gouré en fait.

par **ThSQ** » 12 Mar 2009, 23:38

barbu23 a écrit:Bonsoir à tous : :happy3:
Pourquoi tout ouvert de est : - compact ?
Merci d'avance ! :happy3:

[mode généralisateur fou]
Dans un espace métrique séparable localement compact tout ouvert est réunion dénombrable (ou finie) de compacts.
[/mode généralisateur fou]

par **ThSQ** » 12 Mar 2009, 23:41

Nightmare a écrit:Ensuite pour l'histoire des semi-normes, ici on les considères justement parce qu'elles rendent l'espace complet. Oui effectivement, on peut parler de convergence en semi-norme.

Sans vouloir encore pinailler pour le plaisir, complet c'est pour une distance en général donc l'énoncé complet (haha) n'est-il pas que l'espace obtenu est métrisable et complet pour cette métrique ?

par **Nightmare** » 13 Mar 2009, 02:36

Si bien sûr il est démontré métrisable.

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