Continuité et compacts

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BiZi
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continuité et compacts

par BiZi » 11 Déc 2006, 19:48

Bonjour,

Voilà je me demandais comment démontrer que si f est une fonction continue de R dans R, alors si K est un compact, alors f<-1>(K) est aussi un compact.

Merci d'avance!



Imod
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par Imod » 11 Déc 2006, 20:07

C'est faux , considère une fonction constante .

Imod

BiZi
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par BiZi » 11 Déc 2006, 20:18

Oups désolé! Je voulais dire si K est un compact, alors f<-1>(K) est fermé.

abcd22
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par abcd22 » 11 Déc 2006, 21:02

Bonsoir,
On peut montrer plus généralement que pour tout fermé F, est fermé (et c'est équivalent à « pour tout ouvert O, est ouvert » (par passage au complémentaire), et à « f continue »). On peut le faire avec des suites : si est une suite d'éléments de qui converge vers , essaie de montrer que .

Zebulon
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par Zebulon » 11 Déc 2006, 21:13

Bonsoir,
abcd22 a écrit:On peut montrer plus généralement que pour tout fermé F, est fermé (et c'est équivalent à « pour tout ouvert O, est ouvert » (par passage au complémentaire), et à « f continue »). On peut le faire avec des suites : si est une suite d'éléments de qui converge vers , essaie de montrer que .

l'ennui si on le montre avec des suites, c'est qu'on se restreint à des espaces métriques. Autant le montrer généralement pour l'image réciproque d'un ouvert, puis passer au complémentaire pour l'image réciproque d'un fermé.

BiZi
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par BiZi » 11 Déc 2006, 21:40

Si Un est une suite de f<-1>(K) convergeant vers x, on a:

f(U1)=V1
f(U2)=V2
....
f(Un)=Vn

Où les Vn appartiennent à F.

Vn converge donc vers f(x), et comme F est fermé, f(x) appartient à F d'où x appartient à f<-1>(F).

Autrement dit, pour l'adhérence de f<-1>(F) est inclus dans f<-1>(F), d'où l'égalité de ces deux ensembles, d'où f<-1> fermé.
C'est bon?

Je suppose que j'ai utilisé la continuité quand j'ai dit que Vn convergeait vers f(x)?

Et à part ca, moi je voulais juste avoir le résultat dans R, qui doit être un espace métrique même si je n'ai aucune idée de ce que ca peut être :doh:

abcd22
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par abcd22 » 11 Déc 2006, 22:12

BiZi a écrit:Je suppose que j'ai utilisé la continuité quand j'ai dit que Vn convergeait vers f(x)?

Oui, tu as dû voir la caractérisation de la continuité d'une fonction (à variable réelle disons) en x par la convergence vers f(x) de pour toute suite réelle convergeant vers x, non ?
Et à part ca, moi je voulais juste avoir le résultat dans R, qui doit être un espace métrique même si je n'ai aucune idée de ce que ca peut être :doh:

Oui, muni de la valeur absolue est un espace vectoriel normé, c'est un cas particulier d'espace métrique.

fahr451
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par fahr451 » 11 Déc 2006, 22:35

Zebulon a écrit:Bonsoir,

l'ennui si on le montre avec des suites, c'est qu'on se restreint à des espaces métriques. Autant le montrer généralement pour l'image réciproque d'un ouvert, puis passer au complémentaire pour l'image réciproque d'un fermé.

bonjour zébulon ; ça n' a pas trop l'air ennuyeux en effet ici car acdc a rappelé que (R,I I) était un evn

Zebulon
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par Zebulon » 11 Déc 2006, 23:16

ACDC ? C'est un groupe de hard rock ! :ptdr:
Oui, mais quand j'ai posté ce message, je ne savais pas qu'on se restreignait à .
Je croyais que tu me ferais un beau plutôt qu'un R. :we:
P.S. : Je viens de relire le message de Bizi, et je m'aperçois que je ne sais pas lire... :marteau:

fahr451
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par fahr451 » 11 Déc 2006, 23:22

\mathbb{R}
c'est bon là?

yos
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par yos » 11 Déc 2006, 23:35

Zebulon a écrit:Bonsoir,

l'ennui si on le montre avec des suites, c'est qu'on se restreint à des espaces métriques. Autant le montrer généralement pour l'image réciproque d'un ouvert, puis passer au complémentaire pour l'image réciproque d'un fermé.

Bonsoir zébulon.
Que proposes-tu démontrer que si f est continue de X dans Y (espaces topologiques quelconques), alors l'image réciproque d'un ouvert est ouvert?

Zebulon
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par Zebulon » 11 Déc 2006, 23:45

yos a écrit:Bonsoir zébulon.

Bonsoir Yos. :we:

Que proposes-tu démontrer que si f est continue de X dans Y (espaces topologiques quelconques), alors l'image réciproque d'un ouvert est ouvert?

Pour moi (c'est ce que j'ai appris !), la continuité d'une application entre deux espaces topologiques se définit à l'aide des voisinages. On montre alors facilement que cette définition est équivalente à "l'image réciproque d'un ouvert quelconque est un ouvert" (ou avec les fermés).

yos
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par yos » 12 Déc 2006, 01:05

Oui c'est la définition de la continuité (ou presque si tu l'as vue avec des voisinages). D'où la remarque que je t'ai adressée (en forme de question). Je trouve que c'est souvent ainsi : un théorème non banal devient une définition dans un cadre plus général et sa saveur disparait. Ainsi du beau théorème de Pythagore qui n'en est plus un dans un espace euclidien.

fahr451
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par fahr451 » 12 Déc 2006, 01:15

idem zébulon : pour tout voisinage V de f(a) il existe un voisinage U de a
tel que f(U interDf) inclus dans V

 

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