Commutant et rang

[jonses]

Bonjour ou bonsoir,

J'essaye de faire un exercice d'algèbre linéaire mais je suis bloqué, du coup j'aurai bien besoin d'un coup de main svp.

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Soit A une matrice de Mn(C) et on considère l'endomorphisme pour M matrice complexe

Je dois donner le rang de en fonction du rang A

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Pour être honnête, j'ai vraiment du mal.
Tout ce que j'ai remarqué c'est que le noyau de c'est le commutant de A, mais je vois pas comment déterminer la dimension du commutant en fonction du rang de A.

J'ai déjà vu comment calculer la dimension du commutant dans le cas d'une matrice diagonalisable. Mais là aucune info n'est donnée concernant la matrice A


Si quelqu'un peut m'aider svp.
Je vous remercie d'avance pour vos réponses

[Ben314]

Salut,
Ce que tu as commencé a faire est parfaitement correct (et je vois pas trop ce qu'on pouvait faire d'autre).

Par contre, il y a un gros bug dans l'exo : on ne peut pas calculer la dimension du "commutant de A" en ne conaissant que le rang de A.
Calcule par exemple les rang et la dimension des "commutants" de et de pour t'en convaincre.

Doit soit il y a une hypothèse de plus (éventuellement un peu cachée) concernant la matrice A, soit l'énoncé est faux...

P.S. Pour pouvoir dire des truc sur la dimension du "commutant" de A en ne connaissant que le rang de A, un truc plausible serait de supposer que A est diagonalisable et que les valeurs propres autres que 0 sont toutes simples.

EDIT : Autre possibilité plausible d'erreur d'énoncé : En ne conaissant que le rang de A, on peut calculer celui de l'endomorphisme M->MA (qui est le même que celui de M->AM)

[paquito]

Ben a entièrement raison! Tu peux toujours écrire Dim(Ker(AM-MA))+rang de(AM-MA)=n. Point final.

On ne va passer notre temps à corrigé des énoncés complétement foireux! de toute façon, tu n'auras pas de corrigé! Si par hasard tu en avait un, tu nous l'envoie; il y a longtemps qu'on a pas rigolé! :marteau: :cry: :mur: :dodo: :--:

[jonses]

Merci pour vos réponses

Doit soit il y a une hypothèse de plus (éventuellement un peu cachée) concernant la matrice A, soit l'énoncé est faux...

Je pense que ça doit bien être le cas, à mon avis il manque peut-être "A est diagonalisable" comme tu le suggère.

Vu que je peux pas réinventer le sujet moi-même (il est extrait d'un poly d'exo non corrigé), je vais abandonner cet exo.

Merci en tout cas

Ben a entièrement raison! Tu peux toujours écrire Dim(Ker(AM-MA))+rang de(AM-MA)=n. Point final.

On ne va passer notre temps à corrigé des énoncés complétement foireux! de toute façon, tu n'auras pas de corrigé! Si par hasard tu en avait un, tu nous l'envoie; il y a longtemps qu'on a pas rigolé! :marteau: :mur: :dodo: :--:

Je suis désolé si ce topic t'as mis sur les nerfs. C'était pas mon intention.

En fait je cherchais pas à avoir un corrigé (d'ailleurs c'est pas le genre de Ben de balancer tout de suite la solution, il fait étape par étape), juste d'avoir un peu d'aide. Mais bon, il s'avère que l'énoncé était foireux, et je l'avais pas deviné sur le coup

[Ben314]

Si tu veut en chercher un qui ressemble à celui là (mais qui est juste...) :

Soit fixée. On considère les applications

.
Montrer que ce sont des endomorphismes du -espace vectoriel et déterminer leur rang respectifs en fonction de celui de

C'est pas super dur, mais pas complètement évident non plus...

Et si tu veut un soupons plus dur :

Soit fixée et

Montrer que c'est un endomorphismes du -espace vectoriel et déterminer son rang (en fonction de et ...)

[paquito]

Merci pour vos réponses



Je pense que ça doit bien être le cas, à mon avis il manque peut-être "A est diagonalisable" comme tu le suggère.

Vu que je peux pas réinventer le sujet moi-même (il est extrait d'un poly d'exo non corrigé), je vais abandonner cet exo.

Merci en tout cas





Je suis désolé si ce topic t'as mis sur les nerfs. C'était pas mon intention.

En fait je cherchais pas à avoir un corrigé (d'ailleurs c'est pas le genre de Ben de balancer tout de suite la solution, il fait étape par étape), juste d'avoir un peu d'aide. Mais bon, il s'avère que l'énoncé était foireux, et je l'avais pas deviné sur le coup

Désolé, mais comme ça arrive de plus en plus, on finit par en avoir marre, car on se rends compte de l'erreur après avoir passé un bout de temps sur l'exo et en plus faut expliquer pourquoi ça marche pas.
De toute façon tu n'y est pour rien;
passe une bonne journée :lol3: :lol3: