Comment utiliser le théorème de Cayley-Hamilton?

[gervaispn]

Bonsoir chers amis!
Je voudrai vous inviter, à travers les deux exercices qui suivent, à me montrer, s'il vous plaît, comment utiliser le théorème de Cayley-Hamilton et comment déterminer le polynôme minimal d'un endomorphisme.Je voudrai si possible que certains me repondent à travers des mails personnels,s'il le veulent bien.Merci d'avance.
Exercices:
1) Soit l'endomorphisme u dont la matrice dans la base canonique est:
A=(1 -3 3)
(3 5 3)
(6 -6 4)
Déterminer le polynôme caractéristique et le polynôme minimal.En déduire que A est inversible et déterminer Det(u) et l'inverse de A en utilisant le théorème de Cayley-Hamilton.

2) Soit la matrice d'ordre 3 suivante:
A=(-2 1 1)
(-3 1 2)
(-2 1 1)
Montrer que A est nilpotente et déterminer son indice de nilpotence.En déduire ,en utilisant le théorème de Cayley-Hamilton,son polynôme caractéristique et son polynôme minimal.A est-elle diagonalisable?Pourquoi?

[quinto]

Bonjour,

Déterminer le polynôme caractéristique et le polynôme minimal.En déduire que A est inversible et déterminer Det(u) et l'inverse de A en utilisant le théorème de Cayley-Hamilton.

Pour déterminer le polynôme caractéristique, il y'a plusieurs méthode, la plus fréquente étant celle du calcul de det(A-X).
Une fois ceci obtenu, on va trouver un polynôme de degré 3 qui annule la matrice A.(d'après Cayley-Hamilton)
ie: P(A)=0
A partir de là il est facile de trouver l'inverse de A à partir du polynôme P.
Idem pour le déterminant.

2) Soit la matrice d'ordre 3 suivante:
A=(-2 1 1)
(-3 1 2)
(-2 1 1)
Montrer que A est nilpotente et déterminer son indice de nilpotence.En déduire ,en utilisant le théorème de Cayley-Hamilton,son polynôme caractéristique et son polynôme minimal.A est-elle diagonalisable?Pourquoi?

Si tu as n le plus petit entier non nul tel que A^n=0 alors X^n le polynôme minimal de A.
D'après le théorème de Cayley-Hamilton, le polynôme caractéristique de A est un multiple de celui ci, de degré d l'ordre de A (ici d=3) et de premier coefficient (-1)^d=(-1)^3.
Pour ce qui est de la diagonalisation, demande toi quelles sont les valeurs propres de A, et donc dans une base bien choisie, à quoi serait équivalente A?

[Anonyme]

Bonjour,

A partir de là il est facile de trouver l'inverse de A à partir du polynôme P.
Idem pour le déterminant.

Tu pourrais préciser comment stp, ca m'intéresserait bien de savoir comment.
Merci

[quinto]

Bonjour,
Tu pourrais préciser comment stp, ca m'intéresserait bien de savoir comment.
Merci

Si on a

Alors et
et donc on a

[Anonyme]

En effet, très utile ;)

[gervaispn]

J'aimerai vous remercier pour votre promptitude à me repondre.Mais je ne saisis toujours pas comment derterminer le polynôme minimal.Je vous prie d'être plus explicite, s'il vous plaît.

[quinto]

J'aimerai vous remercier pour votre promptitude à me repondre.Mais je ne saisis toujours pas comment derterminer le polynôme minimal.Je vous prie d'être plus explicite, s'il vous plaît.

As tu (on se tutoie, non?) calculé le polynôme caractéristique?
Si oui, quel est il?
Il faut savoir que le polynôme minimal divise toujours tous les autres polynômes annulateurs, donc d'après Cayley-Hamilton, le polynôme minimal divise le polynôme caractéristique.
Ca restreint énormément les champs de recherche...

[boulay59]

Bonsoir

De plus, les racines du polynôme minimal sont exactement les valeurs propres de la matrice, ce qui réduit encore plus le domaine de recherche. En effet, c'est aussi vrai pour le polynôme caractéristique (attention cependant, ce n'est pas vrai pour tout polynôme annulateur !!!)

Par exemple, si le polynôme caractéristique vaut X(X-1)², alors les racines (qui sont donc les valeurs propres de la matrice) valent 0 et 1. Donc ton polynôme minimal devra avoir 0 et 1 comme racine. Ca ne pourra donc être que X(X-1) ou X(X-1)². Compris ?