Comment retrouver une fonction à partir de certains points

[eyoo]

Bonjour,

Je cherche à retrouver une fonction à partir de plusieurs coordonnées.
J'ai essayé de passer par exemple par des polynomes d'interpolation de Lagrange mais ce n'est vraiment efficace qu'avec un nombre restreint de coordonnées.

J'en ai une trentaine et j'aimerai pouvoir savoir à quelle fonction cela se rapproche, est ce que quelqu'un connaitrait un moyen relativement simple ?

La fonction est plutot simple, c'est à dire qu'elle est toujours décroissante et semble décroire de façon inversement proportionnelle (en gros ça ressemble à 1/x)

Je vous donne les valeurs des f(x) à intervalles réguliers, c'est a dire f(0)=80, f(1)=72 etc...)


80 72 65 58 53 48 43 39 35 32 28 25 22 19 17 15 14 12 10 9 7 6 5 4 3 1 0

Merci pour votre aide.

[alben]

Bonsoir,

Tu as plusieurs possibilités
1 La plus logique : tu peux, de manière théorique, préciser le type de fonction que tu devrais trouver. Par exemple de type 1/x (réfléchir à ce qui se passe aux limites infinies est souvent un bon moyen). Dans ce cas tu peux écrire ta fonction avec quelques constantes à évaluer ax+b)/(cx+1) par exemple.
Si ta fonction n'est pas trop compliquée tu peux essayer la méthode des moindres carrés ou une autre.
2 Tu te contente d'un polynome de Lagrange mais en ne prenant qu'un point sur quatre par exemple.
Tu peux même essayer de décaler les points :

• étape 1 evaluer le polynome avec 1,5,9,...25.
• etape 2 evaluer le polynome avec 2,6,10,...26
• etc et regarder si les coeff changent beaucoup, tu peux même tenter la moyenne des coeff

De toutes façons, le nombre de possibilités est infini et un arc de courbe comme celui que tu présentes peut s'exprimer par à peu près n'importe quelle fonction.
D'ailleurs, on voit bien que tes valeurs sont arrondies, c'est très sensibles sur les dernières (les plus petites). Je suis certain que le passage de 3 à 1 n'est pas naturel (c'est peut-être 2,6 et 1,2)

[eyoo]

Bonsoir,

Tu as plusieurs possibilités
1 La plus logique : tu peux, de manière théorique, préciser le type de fonction que tu devrais trouver. Par exemple de type 1/x (réfléchir à ce qui se passe aux limites infinies est souvent un bon moyen). Dans ce cas tu peux écrire ta fonction avec quelques constantes à évaluer ax+b)/(cx+1) par exemple.
Si ta fonction n'est pas trop compliquée tu peux essayer la méthode des moindres carrés ou une autre.
2 Tu te contente d'un polynome de Lagrange mais en ne prenant qu'un point sur quatre par exemple.
Tu peux même essayer de décaler les points :

• étape 1 evaluer le polynome avec 1,5,9,...25.
• etape 2 evaluer le polynome avec 2,6,10,...26
• etc et regarder si les coeff changent beaucoup, tu peux même tenter la moyenne des coeff

De toutes façons, le nombre de possibilités est infini et un arc de courbe comme celui que tu présentes peut s'exprimer par à peu près n'importe quelle fonction.
D'ailleurs, on voit bien que tes valeurs sont arrondies, c'est très sensibles sur les dernières (les plus petites). Je suis certain que le passage de 3 à 1 n'est pas naturel (c'est peut-être 2,6 et 1,2)

Oui, ce sont des valeurs arrondies à l'entier, ce qui complqiue un peu plus la tache.
J'ai essayé de faire Lagrange en réduisant les points, mais c'était incohérent sur certaines valeurs (notamment la seconde et l'avant dernière ou j'avais bcp d'erreur). Par contre l'idée de comparer les coeffs est pas mal.

Par contre pour le 1, je pense avoir quelques lacunes. a quoi correspond la méthode des moindres carrés ?
Je vais continuer à chercher pour la forme ax+b / cx+1

En tout cas merci pour l'aide..

[alben]

Le principe des moindres carré est simple : on pose y=f(x,a,b) par exemple avec a et b les constantes à évaluer.
Pour chaque valeur, on peut calculer l'écart yréel -f(x,a,b). on met cet écart au carré et on en fait la somme pour toutes les valeurs.
Le but est de rendre cette somme la plus faible possible. Pour cela on va dériver la formule par rapport à chaque paramètre et l'annuler.
Cela donne autant d'équation que de paramètre et c'est donc soluble en principe.
Ca marche parfaitement pour une droite, une parabole ou une exponentielle. On obtient des formules à coucher dehors pour des fonctions un peu plus complexes

[eyoo]

Avec la méthode utilisant Ax+b / Cx+1, j'ai pu trouve des approximations très bonnes (à 0,25 près, donc amplement suffisant étant donné que les valeurs sont arrondies), je pense que je vais pouvoir me contenter de ça.

J'imagine qu'en introduisant un Ax²+Bx+c / dX+1 c'est encor eplus précis ?
je pense que le jeu n'en vaut pas la chandelle pour ce que j'ai a faire.

Merci beaucoup pour cette aide et bonne continuation.