Combinaison

[vysy]

[FONT=Comic Sans MS]Bonjour,
je ne comprends pas une application au binôme de newton qui est la suivante :

On cherche le nombre de solutions entières positives de l'équation avec donné.

La réponse serait d'après le livre : combinaison de parmi .
(ils font un schéma avec boules séparées par barres de séparation.[/FONT])

[girdav]

Bonjour,
on note le nombre de solution de l'équation demandée.
Si on fixe , alors on doit avoir que le -uplet est solution d'une équation semblable à la précédente, avec inconnues et au lieu de on a . Ceci mène au lien de récurrence suivant : d'où par un changement d'indice .
Cela devrait t'aider pour établir la formule.
En revanche, niveau explication intuitive avec des boules, ce n'est pas le top...

[Doraki]

[FONT=Comic Sans MS]
(ils font un schéma avec boules séparées par barres de séparation.[/FONT])

Il y a une correspondance entre les manières de répartir les boules et les barres avec les solutions de x1+...+xn = r.

Par exemple, si n=4 et r = 6, le dessin
o o o | o o | | o
correspond à la solution x1 = 3, x2 = 2, x3 = 0, x4 = 1. (3+2+0+1 = 6)

[vysy]

[FONT=Comic Sans MS]oui je comprends bien le schéma mais ils disent :
"on note ensuite qu'il existe autant de tableaux que de façons de choisir une partie à r éléments dans un ensemble à n-1+r éléments(constitué des boules et des barres de séparations)."
???[/FONT]

[Ben314]

Effectivement,
Si tu reprend le schémas de doraki (n=4, r=6) :
o o o | o o | | o <-> 3+2+0+1 = 6
| o o o o | o | o <-> 0+4+1+1 = 6
etc...
Il y a autant de solution à ton équation que de "dessins" possibles.
Or, tout les "dessins" s'obtennent en partant de 9 (=n+r-1) cases vides, puis en disposant dans ces cases 6 (=r) symboles "o" et 3 (=n-1) symboles "|".
Combien de façon y-a-t-il de disposer les symboles ?

[vysy]

d'accord, mais je pensais que la combinaison différenciait les boules et les barres (ie qu'elle donnait un numéro à chaque objet) , or ici il ne faut pas différencier les boules entre elles ni les barres entre elles... je suis dans le brouillard

[Ben314]

Je ne vois pas ce que tu entend par "différencier les boules et les barres".
Le coefficient binomial est le nombre de façons de choisir p objets parmi n.
Ici on choisi r cases parmi les n+r-1 disponibles pour y metter les "o"

A la rigueur, tu peut numéroter les cases de 1 à n+r-1 et dire que tu tire des numéros, mais je vois pas bien ce que ça change...

[vysy]

[FONT=Comic Sans MS]c'est à dire que j'ai l'impression qu'en faisant une combinaison, on différencie les deux tableaux suivants alors que ce sont les même en fait :


[/FONT]

[Ben314]

Non : distinguer tes deux cas cela voudrait dire calculer des arrangement.

Tu part de 9=n+r-1 case vides que, si tu veux, on peut numéroter 1,2,3,4,5,6,7,8,9 puis, tu choisi r=6 cases parmi ces n+r-1 cases où tu met des "O".
Si seul le chois des 6 cases t'intéresse, c'est des combinaisons. Si en plus tu veut ordonner les six cases, c'est des arrangements.

Dans ton exemple :
correspond à choisir les cases 1,7,3,8,9,5
correspond à choisir les cases 7,8,1,5,9,3
En terme de combinaisons, c'est bien la même chose (ça ne l'est pas en terme d'arrangement)
(et je continue à penser que de numéroter les cases et/ou les "O" et/ou les "|", ça embrouille plus que ça éclaire...)