La classe C1

[Ncdk]

Bonsoir,

J'avais un exercice mais j'ai pas trouvé la correction, pensant que je savais faire je voulais juste que l'on puisse vérifier si j'ai tout bon

Enoncé :

Soit si (x,y) différent de (0,0) et si (x,y) = (0,0) alors F(x,y)=0

1) Etudier la continuité de F sur

J'ai fait une majoration :



J'ai utilisé le fait que

Donc

Alors F est continue en (0,0)

2) Calculer les dérivées partielles en distinguant le cas (x,y) différent de (0,0) et le cas (x,y) = (0,0)

1er cas : (x,y) différent de (0,0)

J'ai trouvé en dérivée partielle suivant x : et suivant y :

2ème cas : (x,y)=(0,0)

En dérivée partielle suivant x j'ai trouvé 1 (grâce à la définition) et en y j'ai trouvé -1 grâce à la définition.

3) Énoncer le critère d'appartenance d'une application de classe en terme de ses dérivées partielles. Démontrer à l'aide de ce résultat que F est de classe

f est de classe si et seulement si, et , les dérivées partielles de suivant existent et sont continues sur O un ouvert de

Donc mes dérivées partielles suivant x et y dans le 1er cas me sont utile pour le prouver que c'est .

J'ai tout simplement dit que c'était des fonctions continues sur dont le dénominateur ne s'annule pas sur ce même intervalle, alors elles sont continue sur , on peut dire que F est de classe


4) Les dérivées partielles sont-elles continues au point (0,0) ?

Elles sont pas continues au point (0,0) car la dérivée partielle suivant x vaut 1, donc quand on fait tendre cette quantité vers 0, cela reste 1 et pour la dérivée partielle suivant y qui vaut -1 c'est le même raisonnement.

(Question de moi : Si les dérivées partielles sont pas continues en (0,0), peut-on conclure que F est pas différentiable au point (0,0) ? Moi je dirais que non, mais qu'elle est la raison ? :p)

5) Etudier la différentiabilité de F au point (0,0)

J'ai appliqué la définition et je suis arrivé à savoir si :



J'ai étudié la limite de g(0,k) = 2 quand (h,k) tend vers (0,0) et g(h,0)=0 quand (h,k) tend vers (0,0)

Alors F est pas différentiable au point (0,0).

Voila

[Ben314]

Donc

Là, clairement et sans même lire le reste, il y a une énorme ânerie.

Et c'est là que c'était pas malin.
Contrairement à l'autre au dessus, cette inégalité est vraie, mais ne permet surement pas de conclure vu que le truc de droite tend vers l'infini pour x fixé (par exemple égal à 1) et y qui tend vers 0.
Ce type d'exo. est trés formateur dans le sens qu'il apprend (petit à petit : ce n'est pas facile du tout), à voir quelles sont les majorations "malines" d'une expression et lesquelles, bien que vraies, ne le sont pas.

Si tu ne vois pas comment faire, je pourrait t'aider, mais comme chacun a ces petites "manies" concernant la façon de procéder (qui dépendent de la norme sur R² qui as notre "préférence") ça serait mieux que tu trouve toi même en essayant de faire comme dans les exercices déjà faits en cors ou en T.D.

Pour les dérivées partielles ailleurs qu'en (0,0), c'est O.K. (pas forcément malin d'avoir développé, mais vu la suite, pourquoi pas...) pour le raisonnement qui suit concernant le théorème de cours, O.K. aussi.

Pour les dérivées partielles en (0,0), elles valent effectivement 1 et -1, mais je ne comprend pas ton charabia en dessous consistant à dire que "1 ne tend pas vers 0" (ça ressemble à du Barbu tout craché ça... )
Si tu doit regarder une limite, c'est celle de df/dx(x,y) lorsque (x,y)->(0,0) [que tu as calculé juste au dessus] pour voir si ça tend [ou pas] vers df/dx(0,0)=1.
Si ça ne marche pas, c'est plié : elle n'est pas C1 au voisinage de 0.
Si ca marche pour df/dx, il faut regarder si ça marche aussi pour df/dy(x,y) (même méthode)
Indication : Après calculs, df/dx(x,y) ne tend pas vers df/dx(0,0) lorsque (x,y)->(0,0)

J'ai étudié la limite de g(0,k) = 2 quand (h,k) tend vers (0,0) et g(h,0)=0 quand (h,k) tend vers (0,0)
Alors F est pas différentiable au point (0,0).

Là, la rédaction n'est pas très claire : je suppose que la fonction g dont tu parle, c'est avec un + au numérateur de la première fraction (faute de frappe sans doute).
Si effectivement la limite de g(0,k) était égale à 2 lorsque k->0, alors ça prouverais la non différentiabilité, mais ce n'est pas le cas : cette limite vaut bien 0.
En fait, et en espérant ne pas t'embrouiller avec ça, arrivé à ce point si tu calcule les limites de g(h,0) où h->0 et g(0,k) où k->0, tu doit obligatoirement trouver 0 dans tout les exercices, que la fonction soit ou pas différentiable.
Et ça provient directement du calcul que tu as fait pour trouver les dérivées partielles de f par rapport à x et par rapport à y.
Indication : Après calculs, la limite de g en (0,0) n'est pas nulle (donc f n'est pas différentiable en (0,0))

[barbu23]

... sans même lire le reste, il y a une énorme ânerie.

Ndck :
Ne te fait pas de souci pour ce genre de propos. Tu sais à priori devant qui tu es d'ailleurs.
Il oublie que l'énorme ânerie consiste à dire que : s'obtient en calculant les dérivées partielles, et en introduisant ou je ne sais quoi. :happy3:

[Ben314]

Je te le dit comme je le pense Barbu : tu ne sera pas resté longtemps de retour parmi nous... :triste:

[Ncdk]

Là, clairement et sans même lire le reste, il y a une énorme ânerie.Et c'est là que c'était pas malin.
Contrairement à l'autre au dessus, cette inégalité est vraie, mais ne permet surement pas de conclure vu que le truc de droite tend vers l'infini pour x fixé (par exemple égal à 1) et y qui tend vers 0.
Ce type d'exo. est trés formateur dans le sens qu'il apprend (petit à petit : ce n'est pas facile du tout), à voir quelles sont les majorations "malines" d'une expression et lesquelles, bien que vraies, ne le sont pas.

Si tu ne vois pas comment faire, je pourrait t'aider, mais comme chacun a ces petites "manies" concernant la façon de procéder (qui dépendent de la norme sur R² qui as notre "préférence") ça serait mieux que tu trouve toi même en essayant de faire comme dans les exercices déjà faits en cors ou en T.D.

Pour les dérivées partielles ailleurs qu'en (0,0), c'est O.K. (pas forcément malin d'avoir développé, mais vu la suite, pourquoi pas...) pour le raisonnement qui suit concernant le théorème de cours, O.K. aussi.

Arf, moi qui pensait que tout tenait la route

J'ai pas regardé dans mes TD, concernant les majorations effectué, et j'ai pas trouvé de chose en rapport avec ce cas particulier, j'ai essayé plusieurs méthodes différentes, pour faire apparaître quelque chose d'évident, mais en vain, c'est vrai que je suis preneur de techniques Je le vois que dans certains, les majorations sont assez facile, mais certaines sont moins évidentes, et je me lance à faire des choses sans trop savoir ou aller, enfin si je sais ou je dois arriver mais entre les deux, il manque quelques astuces :p

[chan79]

(Question de moi : Si les dérivées partielles sont pas continues en (0,0), peut-on conclure que F est pas différentiable au point (0,0) ? Moi je dirais que non, mais qu'elle est la raison ? :p)

On doit pouvoir trouver des fonctions différentiables qui ne sont pas de classe .

[Ben314]

On doit pouvoir trouver des fonctions différentiables qui ne sont pas de classe .

Oui, et ce n'est même pas la peine d'aller chercher dans R² : la fonction réelle x->x²sin(1/x) pour x non nul et 0->0 est dérivable (=différentiable dans le cas réel) et pas C1.
Et si, vraiment tu en veut une de R²->R, tu as qu'à prendre (x,y)->x²sin(1/x) pour x non nul et (0,y)->0... :zen:

Sinon, un truc assez classique pour les limites de fonction de 2 variables, c'est de prendre , puis de regarde si tend vers 0 lorsque tend vers 0, indépendamment de .
Attention, à ne pas considérer que est fixé : il peut "bouger" lorsque tend vers 0 donc il faut arriver à majorer par un truc qui ne dépend plus de .
C'est souvent "un peu lourd" comme méthode, mais ça marche bien, surtout comme ici où tu as des divisions par x²+y².

[Ncdk]

Oui, et ce n'est même pas la peine d'aller chercher dans R² : la fonction réelle x->x²sin(1/x) pour x non nul et 0->0 est dérivable (=différentiable dans le cas réel) et pas C1.
Et si, vraiment tu en veut une de R²->R, tu as qu'à prendre (x,y)->x²sin(1/x) pour x non nul et (0,y)->0... :zen:

Sinon, un truc assez classique pour les limites de fonction de 2 variables, c'est de prendre , puis de regarde si tend vers 0 lorsque tend vers 0, indépendamment de .
Attention, à ne pas considérer que est fixé : il peut "bouger" lorsque tend vers 0 donc il faut arriver à majorer par un truc qui ne dépend plus de .
C'est souvent "un peu lourd" comme méthode, mais ça marche bien, surtout comme ici où tu as des divisions par x²+y².

C'est pas les coordonnées polaires, on a jamais vu sa en cours ou en TD, mais dans pas mal d'exercice ça y est et j'ai jamais compris d'ou sa sortais :p
Et sinon sans ça, je peux arriver à majorer l'expression ?

[Ben314]

ça sort du fait que, pour "repérer" un point M du plan, au lieu de regarder son abscisse et son ordonné, tu peut regarder à quelle distance il est de l'origine (c'est le de la formule) et, si le point est distinct de O, que angle fait la demi droite [OM) avec le demi axe des x (c'est le de la formule).

Le gros intérêt du truc, c'est que de dire que (x,y) tend vers (0,0), ça se résume alors à dire que tend vers 0 (et fait absolument ce qu'il veut...)

[Ben314]

Sinon, effectivement, tu peut évidement le faire sans coordonnées polaires, mais la solution que je vait te proposer là, en fait elle est bien plus visuelle en polaire :

Pour tout (x,y) de R^2, on a et

donc

d'où

[Ncdk]

Ah parfait merci, quand je vois faire les autres c'est trop facile, mais quand je cherche je trouve ça trop dur :ptdr:

Merci bien en tout cas :)