Classe infinie

[nemesis]

salut a tous
comment montrer qu'une fonction est de classe C^infini.

[Joker62]

Montre que pour tout n
la dérivée n-ième est continue.

[nemesis]

ok.
mais peux tu me donner un exemple stp

[nemesis]

en fait voila mon exercice

soit f(x) = {e^x + e^(-1/x^2) si x est different de 0 ; 1 si x =0}

je dois montrer que f(x) est de classe cînfini
ecrire f^(n) (0)
et dire si elle est developpable en serie entiere

et je sais pas par quoi commencer
j'espere que vous comprenez
merci d'avance

[Joker62]

Donc f est clairement car somme de deux fonctions

Ensuite, il suffit de calculer la dérivée n-ième de ta fonction, et de vérifier qu'elles sont toutes continues en 0

Pour n = 1, c'est facile, c'est ok
J'te laisse continuer.

[nemesis]

et pour le developement en serie

[fahr451]

bonjour

seul le terme g(x) = exp (-1/x^2) pose problème en 0
g est clairement de classe c infini sur R *
on montre par récurrence que g^(n) (x) = P(x) /x^(3n) g(x)

et on en déduit facilement que quand x->0 g^(n) (x) ->0

et donc que g est de classe c infini en 0 avec g^(n) (0) = 0

si g était développable en série entière (au voisinage de 0) elle serait localement nulle ( car égale à sa série de taylor) ce qui n 'est pas .

[nemesis]

ok merci.je comprend