Choisir un nombre,application.

[Jjl]

Salut,j'ai fais cet exercice:
Exercice 10
Soit f : R
3 ;) R
3 définie par f(x, y,z) = (x + y, x ;) y, x +
;)
z)
1. Montrer que f (.) est linéaire.
2. Comment choisir ;)
pour que f(.) soit injective? surjective?

1)C'est la même démarche que d'habitude,f(u+v+w)=f(v)+f(u)+f(w); u=(x,y,z) v=(x',y',z') et w=(x",y",z") donc u+v+w=(x+x'+x",y+y'+y",z+z'+z") et f(x+x'+x",y+y'+y",z+z'+z")= ((x+x'+x")+(y+y'+y"),((x+x'+x")-(y+y'+y"),((x+x'+x")+(;)(z+z'+z"))= ((x+y)+(x'+y')+(x"+y"),(x-y)+(x'-y')+(x"-y"),(x +
;)
z)+(x' +
;)z')+(x"+
;)
z")= ( (x + y, x ;) y, x +
;)
z)+ (x'+y',x';) y',x'+
;)
z')+...)= f(x,y,z)+ f(x',y',z')+ f(x",y",z").

Ensuite ;)u=;)(x,y,z)=(;)x,;)y,;)z) et f(;)x,;)y,;)z)= (;)x+;)y,;)x-;)y,;)x+;)²z) =;)f(x,y,z) donc f(x,y,z) est linéaire.
2)Soit f une application de E dans F.
f est injective ssi, quelque sois x et y, f(x)=f(y)=f(z) => x=y=z.
Donc soit x,y dans R et z dans R.
Citation:
f(x,y,z)=f(x',y',z') <=> (x+y,x-y,x+;)
z)=(x'+y',x'-y',x'+;)
z')=(x"+y",x"-y",x"+;)
z")<=>
{x+y=x'+y'=x"+y"
{x;) y=x' ;)y'=x";)y"
{x+
;)
z=x'+
;)
z'=x"+
;)
z" donc:
(x,y,;)
z)=(x',y',;)
z')=(x",y",;)
z"). <=>x=x'=x",y=...
Et f est injective si Ker(f)={0E},la question deux laisse supposé que Ker(f) différent de {0E}
Cependant quand je résous le système:
{x+y=0
{x;) y=0
{x+
;)
z=0
Je trouve comme solution(0,0,0) avec x=y=-y(ça ne marche qu'avec 0).
J'imagine que je me suis trompé et que z différent de 0,donc pour que f soit injective,il faut que

;)
z=0=>;)
=0.
Surjective,je ne sais pas trop.

[bentaarito]

Au contraire, pour que f soit injective, il faut que soit différent de 0

EDIT: quant à la surjectivité, remarque que dans ton cas, injectivté bijectivité surjectivité au vertu du théorème du rang

[Doraki]

1. Montrer que f (.) est linéaire.

1)C'est la même démarche que d'habitude,f(u+v+w)= ...

Pourquoi diable est-ce que tu t'embêtes à mettre 3 variables ?

[Jjl]

Au contraire, pour que f soit injective, il faut que soit différent de 0

EDIT: quant à la surjectivité, remarque que dans ton cas, injectivté bijectivité surjectivité au vertu du théorème du rang

A ok,ça change tout!

[Jjl]

Pourquoi diable est-ce que tu t'embêtes à mettre 3 variables ?

C'est long mais c'est la seule méthode que je connais.

[zygomatique]

C'est long mais c'est la seule méthode que je connais.

salut

alors tu devrais revoir ton cours ....