Changement de variable intégrale
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mehdi-128
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par mehdi-128 » 04 Sep 2017, 10:40
Bonjour,
Soient x et y des réels strictement supérieurs à 1.
 = \int_{0}^{1} t^{x-1} (1-t)^{y-1} dt)
La question est : donner une expression de beta en effectuant le changement de variable :
J'y arrive pas du tout à réaliser le changement de variable et trouver les nouvelles bornes. Et je comprends pas l'indication :
La fonction
est une bijection de
sur
Déjà je comprends pas pourquoi on prend ]0,+infini[ et pourquoi c'est une bijection ?
Pourquoi les intervalles sont ouverts en 0 et 1 ?
Et à quoi ça nous sert car dans le changement de variable faut justifier que la fonction est de classe C1 ...
Merci.
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pascal16
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par pascal16 » 04 Sep 2017, 12:54
Si la fonction est intégrable, sont intégrale sur ]0;1[ et sur [0;1] est la même
ici, la bijection n'est que sur [0;1[, et en effet, la bijection n'est pas du tout une obligation, c'est la classe C1 qui nous sert.
fait les calculs de base :
u=t/(1-t) donc du/dt = .... donc dt=
u=t/(1-t) donc t= ...
quand t=0, que vaut u ?
quand t= 1-, que vaut u ?
et tu as tout ce qu'il faut pour remplacer dans l'intégrale et essayer de la simplifier
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FLBP
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par FLBP » 04 Sep 2017, 13:12
Salut,
Pour trouver
)
: je répéterais
fois l’intégration par partie
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mehdi-128
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par mehdi-128 » 04 Sep 2017, 13:25
J'ai montré dans une question précédente que :
=t^{x-1} (1-t)^{y-1})
est intégrable sur ]0,1[ pour x et y >0
Or ici c'est encore plus simple car on prend x et y >1.
Soit la fonction :
=\frac{t}{1-t})
donc
=\frac{1}{(1-t)^2})
f est continue sur ]0,1[ et f' est aussi continue donc f est de classe C1 sur ]0,1[
Je trouve :
 du)
Quand t=0 on a :
=0)
Quand t=1- :
=\frac{1}{1-1^{-}}=\frac{1}{0^{+}}=+ \infty)
Or :
 = \int_{0}^{+ \infty} (\frac{u}{1+u})^{x-1} (\frac{1}{1+u})^{y-1} (\frac{1}{1+u})^2 du)
Enfin :
 = \int_{0}^{+ \infty}\frac{u^{x-1}}{(1+u)^{x+y}} du)
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mehdi-128
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par mehdi-128 » 04 Sep 2017, 13:28
FLBP a écrit:Salut,
Pour trouver
: je répéterais
fois l’intégration par partie
Salut. C'est un sujet de Centrale très calculatoire, l'objectif est de montrer que pour tous réels x et y strictement positifs (en fait il suffit de montrer pour de réels >1) :
=\frac{\Gamma(x) \Gamma(y)}{\Gamma(x+y)})
Vous pouvez m'expliquer pour la bijection SVP ? J'ai pas compris.
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Kolis
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par Kolis » 04 Sep 2017, 14:28
Bonjour !
Tu as montré que
est continue et strictement monotone, prend les valeurs limites
et tu demandes si c'est une bijection ?
En revanche, pour continuer, tu devrais intégrer par parties
)
(ce qui te donnera une relation en fonction de
) puis étudier la fonction
=\beta(x,y)\Gamma(x+y))
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mehdi-128
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par mehdi-128 » 04 Sep 2017, 17:13
Oui j'ai trouvé :
=\frac{x}{x+y} \beta(x,y))
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