Chaînes de Markov

[cacaboudina]

Bonjour à tous, je suis actuellement en 3ème année d'école d'ingénieur et nous avons un projet à réaliser pour ce semestre. Pour celui-ci, il nous est demandé de réaliser une modèle aléatoire à l'aide des chaînes de Markov, l'algèbre linéaire et des simulations numériques.

N'ayant pas encore eu de cours sur les chaînes de Markov, je me suis renseigné mais j'ai du mal trouver un sujet concret. J'aurais aimé savoir si quelqu'un pouvait m'aider à trouver un sujet, j'ai déjà pensé à modéliser un jeu au casino, ou bien étudier les propriétés du temps d'extinction d'une population animale ou encore un phénomème météorologique. Cependant tout cela est assez flou so need help please!

Merci & bonne soirée à tous.

[Ben314]

Salut,

Un exemple amusant que je connais où la seule façon de procéder (à ma connaisance) utilise les chaines de Markof est le "jeu" suivant :

Deux joueurs jouent en jetant un certain nombre de fois une pièce de monnaie.
Avant de commencer à jeter la pièce, chacun des deux joueurs choisi une séquence de longueur 3 du style "Pile Pile Face" ou "Façe Pile Face"...
Le joueur dont la séquence sort en premier gagne la partie.

Contrairement à ce que l'on pourrait penser, le jeu n'est pas du tout équitable : celui qui choisi sa séquence en deuxième, et donc en connaissant celle de l'autre, peut systématiquement trouver une séquence qui aura strictement plus d'une chance sur 2 de sortir avant la séquence du premier joeur.
L'exemple le plus flagrant est celui où le premier joueur choisi "Pile Pile Pile". Si le second joueur choisi "Face Pile Pile" alors il est façile de voir qu'il a 7 chance sur 8 de gagner (pourquoi ?)

Par contre, là où c'est plus compliqué et où on peut utiliser des chaines de markov, c'est si le premier joueur choisi par exemple "Pile Face Pile" et le second "Pile Pile Face" : quels sont les chance de gain de chaque joueur ?

Bon, aprés, je sais pas si ça fait suffisement sérieux comme projet...

[nodjim]

Pour ta dernière question, Ben (PFP contre PPF) il me semble que le second a 2 fois plus de chance de gagner, car un PP se traduit obligatoirement par une victoire pour lui, alors qu'un PF n'a pas cet avantage.

[Ben314]

J'avais peur de l'avoir paumé, mais je viens de retomber sur la feuille où j'avais noté tout les résultats en fonction des triplets choisis...

Donc pour "Pile Face Pile" versus "Pile Pile Face" le premier joueur a 1 chance sur 3 de gagner et le second 2 chances sur 3 : c'est effectivement le double pour le second joueur...

Mais aprés, je suis pas sûr que ton raisonnement soit franchement valable vu que, pour "PPF" versus "FPP", le second joueur a 3 chance sur 4 de gagner alors que de nouveau, un PP se traduit obligatoirement par la victoire du premier, mais que le problème, c'est que, si le PP, c'est pas les 2 premiers, ben le deuxième a gagné avant...

[nodjim]

Bon, j'ai répondu seulement à la question PFP vs PPF, et la réponse ne se voulait pas généraliste.
Pour PPF vs FPP: au bout de 2 lancers, PPF a une chance / 4 de gagner, si PP. Mais s'il rate, c'est fichu pour lui: un 1 est sa perte ! c'est bien du 3/4 pour le second joueur.
PP: Gagne
PF: Perd
FP: Perd
FF: Perd