Césaro!

[letudian]

Bonjour,

j'ai un exercice où je dois utiliser césaro que je n'arrive pas à résoudre...
Le voici:
pour tout n,
Vn=(Somme de((k parmis n)*Uk)/(2^n)), la somme variant de 1 à n.
Montrer que si (Un)n converge vers 0, alors (Vn)n converge aussi vers 0.

Rapidement, voila ce que je fais:
il existe N tq pour tout n>N, Un<(epsilon/2)... je sépare la somme en 2, une qui va de 1 à (N-1) et l'autre qui va de N à n.
J'arrive sans problemè à majorer la 2e somme par (epsilon/2), mais la 1ere je n'y arrive pas! au mieux voila ce que j'obtiens:

1ere somme=somme de((k parmi n)Uk/(2^n)) pour k variant de 0 à (N-1).
Je peux majorer (Un) par un réel strictement positif M puisque que le nombre de terme est fini. Puis en utilisant le binome de Newton je peux simplifier ce qui reste et donc je trouve au final:

1ere somme= M ----> qui ne tend pas vers 0!!!!!

Si quelqun un à idée, elle serait la bienvenue!

Rq: on n'a pas vu que lim (n!)/2^n tend vers 0 ou encore (k parmis n)/(2^n) tend vers 0...

Merci d'avance!

[letudian]

aucune idée? :triste:

[ThSQ]

Tu as une somme finie divisée par un truc qui tend vers +°°

[letudian]

pourtant l'exercice est faisable... :mur:
que dois-je changer/faire?

[ffpower]

Qu est ce qui se passe pour ton premier terme si tu prend N suffisament grand(plus grand encore que tu ne l as pris la^^)

[Maxmau]

Bj

Bj
N étant fixé, essaie de montrer qu’il existe N’> N tel que :
Pour n > N’ |1ère somme|< ;)/2
( N étant fixé, la 1ère somme tend vers zéro lorsque n tend vers infini)

[letudian]

Merci pour vos réponse,

En effet je suis d'accord avec vous,
mais comme je l'ai précisé nous ne sommes pas censé savoir que n!/2^n tend vers 0!!

[letudian]

Merci pour vos réponse,
ce qui me pose problème pour pouvoir "passer à l'epsilon/2", c'est que le "n" du (k parmis n) fait tendre la 1ere somme vers l'infini!

[Maxmau]

Merci pour vos réponse,
ce qui me pose problème pour pouvoir "passer à l'epsilon/2", c'est que le "n" du (k parmis n) fait tendre la 1ere somme vers l'infini!

Bj
Quelle la limite de c(n,k)/2^n lorsque n tend vers infini ?
( c(n,k) = "k parmi n" )

[yos]

on n'a pas vu que lim (n!)/2^n tend vers 0 ou encore (k parmis n)/(2^n) tend vers 0...

Le premier, c'est pas surprenant que vous l'ayez pas vu.
Le second, il n'y a rien à voir car c'est équivalent à (où est une constante).