Caractérisation séquentielle des fermés : démonstration

[Wenneguen]

Bonjour,

je dois démontrer la caractérisation séquentielle des fermés, à savoir :

Une partie A d'un espace vectoriel normé E est fermée si et seulement si toute suite convergente de A a sa limite dans A.

J'ai démontré le sens direct par l'absurde, mais je bloque sur la réciproque.

Un peu d'aide serait la bienvenue :id:

Merci ! :we:

[cuati]

Bonsoir,
Une méthode : suppose que le complémentaire de A n'est pas ouvert (écrire ce que cela signifie avec des epsilons...) déduis en ensuite qu'il existe une suite convergente d'éléments de A dont la limite n'appartient pas à A.

[Wenneguen]

Bonsoir,
Une méthode : suppose que le complémentaire de A n'est pas ouvert (écrire ce que cela signifie avec des epsilons...) déduis en ensuite qu'il existe une suite convergente d'éléments de A dont la limite n'appartient pas à A.

Merci pour la piste mais je n'y arrive pas...

Si A n'est pas fermé, je dis que le complémentaire de A dans E, à savoir E\A, n'est pas ouvert. Je traduis ça de façon incertaine par

n'est pas incluse dans A. ( c'est bon ? )

Mais à partir de là, j'ai beau faire un dessin, je vois pas comment trouver une suite qui conviendrait :hein:

[cuati]

Oui, sauf que c'est E\A qui n'est pas ouvert, il existe donc tel que... autrement dit il existe tel que ...
Ensuite, prends et construis une suite d'éléments de A qui converge vers

[Wenneguen]

Oui, sauf que c'est E\A qui n'est pas ouvert, il existe donc tel que... autrement dit il existe tel que ...
Ensuite, prends et construis une suite d'éléments de A qui converge vers

Ah oui en effet, je savais que yavait un truc qui n'allait pas ^^ Merci beaucoup !