Caractérisation séquentielle de la continuité uniforme

[Viko]

Bonjour,

Aujourd'hui en TD nous avons démontrer le théorème de caractérisation séquentiel de la continuité uniforme et selon mon professeur il est "très difficile de montrer l'implication indirect (si pour toute suite x_n et y_n blabla alors blabla) directement (i.e. sans raisonner par contraposée/l'absurde)", naturellement j'ai essayé de le faire hélas c'est vraiment trés difficle
qlq aurait donc quelques idées à me proposer pour me permettre d'avancer un peu dans ma "recherche" ?

[aviateur]

Bonjour
Je ne comprends pas très bien le "sans raisonner par l'absurde". Pourquoi cette interdiction?
D'autant plus qu'un petit raisonnement par l'absurde conduit directement au résultat

[Viko]

je sais bien que le raisonnement par l'absurde permet de conclure en qlq ligne mais il s'agit d'une petit défi que je me lance voilà tout ^^

[aviateur]

Alors bon courage!

[vejitoblue]

hello j'ai une idée pout toi
R dense dans R, donc toute paire (x,y) de R² est limite de paires de suites (xn, yn)

[Elias]

Ça peut pas aider car cela revient à dire une banalité. On peut prendre bien sûr les suites (xn) et (yn) constantes à x et y.

Ne pas passer par un raisonnement par l'absurde me semble difficile ici (et sans trop d'interêt).

Donc là, il faut partir de eps>0 et trouver tout seul comme un grand un bon candidat pour delta > 0 tel que pour tout x,y (dans un intervalle I), |x-y| < delta => |f(x)-f(y)| < eps.

[aviateur]

Bonjour, Je suis d'accord avec Trident2, où est l'intérêt? A mon avis si tu veux un défi on peut t'en donner, on en trouvera bien en cherchant un peu.

[Viko]

Je ne sais pas, quel est l’intérêt des maths ? mais bon si vous pensez que cela est vraiment vide d’intérêt je veux bien que vous me soumettiez un autre défi

[pascal16]

je vois 2 parties à traiter
-> choix des suites
-> recherche d'un majorant ou d'un minorant sur un ensemble a priori infini.

le second point demande de bien écrire ce que l'on a au départ, sinon, on retombe sur de la continuité simple.

[vejitoblue]

Salut
je pense pas que c'est sans interet, certes on l'a prouvé par l'absurde, mais si on le prouve directement ça augmente notre compréhension de la continuité uniforme.

trident: je pensais que si on "remplaçait" les xn et yn par x et y et f(xn) par f(x) ou en utilisant la caractérisatiob de l'adhérence, on aurait déjà avancé... si t'as une piste, vas- y

[Viko]

entièrement d'accord vejtoblue ! je n'ai pas encore eu le temps de vraiment commencé à réfléchir à ton idée d'utiliser la caractérisation séquentiel de la densité de R dans R mais ça me semble être un bon point de départ j’essaierais d'y travailler au moins une heure aujourd'hui histoire de me donner qlq idées à ce sujet, je te tiens au courant de mon avancement !

[vejitoblue]

comme l'a dit trident, on en a pas besoin, il suffit de prendre des suites triviales xn=x et yn=y pour tout n naturel

Imo le point de départ c'est déjà de tout écrire avec des epsilon des deltas et des quantificateurs.

[Ben314]

Salut,

je pense pas que c'est sans interet, certes on l'a prouvé par l'absurde, mais si on le prouve directement ça augmente notre compréhension de la continuité uniforme.

Non, la preuve que tu trouve partout concernant le sens "O.K. pour toutes les suites => Continuité uniforme" n'est pas une preuve par l'absurde, mais une preuve par contraproposition ("Non continuité uniforme => il existe une suite qui déconne") ce qui est essentiellement différent : ce qu'on écrit, c'est pas un tissus de connerie qui conduit à une contradiction, mais un vrai truc concret parfaitement applicable dans des exercices si besoin est.

Et, en ce qui me concerne, autant quand je n'ai que une preuve par l'absurde, ça me dérange un peu, autant une preuve par contraposition, je considère que c'est une preuve "normale et logique"

[vejitoblue]

autant pour moi je dis de la merde... c'est ce que j'avais en tête mais j'ai lu "absurde" ailleurs. c'est vrai que si on fait pas la difference lol
oui donc prouver par contre-apposition au sens "logique" c'est la même chose que prouver directement. mais alors pourquoi ça à l'air si dur ce que le monsieur demande!!


(nonB=>nonA)<=>A ou nonB <=>(A=>B)

ouais l'absurde, c'est quand on arrive à rien, la 5eme roue du carosse

[aviateur]

Bonjour

ouais l'absurde, c'est quand on arrive à rien, la 5eme roue du carosse.

Là tu vas un peu loin!!

Je résume ce qui a été dit :


Donc si tu utilises cela tu fais un raisonnement par contradiction.


Pour démontrer par l'absurde que
tu fais une hypothèse supplémentaire qui est la négation de B ( non B).

Tes hypothèses sont donc A et (non B) et par déductions logiques tu arrives à une contradiction. Tu en déduis donc que ton hypothèse supplémentaire est fausse (i.e que tu as B)

[BenGo]

Alors j'ai eu l'idée d'exploiter le fait que f(xn)-f(yn) tend vers 0. Ainsi pour tout eps>0, il existe un couple (xn,yn) tel que abs(f(xn)-f(yn))<eps. Si on prend eps=abs(xn-yn), alors on a abs(f(xn)-f(yn))<abs(xn-yn), donc f est 1-lipchitzienne, et donc uniformément continue.

[GaBuZoMeu]

Ça ne va pas du tout, là.
Voila ce qui arrive quand on ne porte aucune attention aux quantificateurs.