Capacité d'un compact
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Nightmare
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par Nightmare » 10 Mai 2010, 16:59
Salut à tous !
Je viens de lire un article sur la notion de capacité qui me parait assez peu clair.
Dans R ou R², étant donné un compact K, on définit la suite
\;=\;\;\max_{(x_{1},...,x_{n})\in K^{n}}\;\; \[V(x_{1},...,x_{n})\]^{\frac{2}{n(n-1)}})
(V=déterminant de Vandermonde).
Pour n=2, on retrouve la notion de diamètre du compact.
La suite (dn) est convergente, ça ça va. Cela dit, je n'arrive pas à concevoir la limite dans des cas simples, par exemple, que vaut
)
ou
)
?
Sauriez-vous m'éclairer à ce sujet? J'ai du mal à concevoir la notion...
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Ben314
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par Ben314 » 11 Mai 2010, 10:59
Salut,
1) Je connaissait pas la notion.
2) Je vois pas à quoi ça correspond "concrètement"
3) Aprés une heure de calculs, je vois toujours pas clairement comment (approximativement) disposer 0=x0<x1<...<xn<x(n+1)=1 dans [0,1] pour maximiser le produit pour j<i des (xi-xj) donc je sais pas combien vaut
)
...
Le seul truc que j'ai vu, c'est qu'en dim 2, je pense qu'il ne faut pas écrire de déterminant dont les coeff sont des vecteurs !!, mais plutôt le le produit pour j<i des ||xi-xj|| en précisant la norme (à mon avis euclidienne)
Qui n'entend qu'un son n'entend qu'une sonnerie. Signé : Sonfucius
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Nightmare
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par Nightmare » 11 Mai 2010, 11:31
Hello !
Merci de t'intéresser un petit peu au problème.
Après plusieurs recherche, je suis parvenu à plusieurs choses :
1)La limites des dn, qu'on appelle capacité (analytique) du compact, caractérise les espaces vérifiant le théorème de Riemann, à savoir que si l'on se fixe une fonction holomorphe bornée sur C-K, alors elle est constante si et ssi la capacité de K est nulle. (Aucune idée de démonstration ...)
2) D'après ce qui précède, il semblerait donc que la capacité du disque unité fermé soit nulle, mais là encore, aucune idée de démonstration à partir de la définition, et encore moins d'idées pour [0;1] ...
3)La capacité est invariante par translation et par dilatation (assez facile à démontrer) mais en dehors de ça semble avoir un comportement assez peu enclin à une étude simple !
4)Si l'on remplace la distance usuelle par une pseudo-distance hyperbolique, alors si D est le disque unité ouvert et K une partie (relativement) compacte de D, alors D\K est biholomorphe à D\D(0,c) (disque centré en 0 de rayon c) ou c est la capacité (hyperbolique) de K. (écrit dans l'article sans démonstration)
A part ça... le néant
Edit : Au niveau des applications, à part en analyse harmonique, il semblerait qu'il y ait des applications au niveau physique. En particulier, la capacité analytique d'un compact représente apparemment je cite "sa volonté d'accueillir des charges électriques". Je n'en sais pas plus...
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Arkhnor
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par Arkhnor » 11 Mai 2010, 13:48
Salut.
Je n'y connais pratiquement rien, donc ma réponse peut tomber à côté de la plaque, mais en regardant le livre de T.Ransford, Potential Theory in the Complex Plane, il donne une autre définition de la capacité, la calcule pour quelques ensembles bien connus (en exercice), puis démontre que la définition qu'il donne est équivalente à la tienne.
A première vue, la plupart des démonstrations sont longues, calculatoires, et non triviales. T'as du courage de t'y attaquer seul sans référence. ^^
En espérant t'avoir un peu aidé. ^^
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