Calculer une norme

[Ncdk]

Bonsoir,

J'ai un sérieux problème sur pas mal d'exercice, on me demande de calculer des normes, mais j'ai pas la méthode en fait, du moins je vois ce qui faut faire, mais j'ai pas les idées pour arriver à mes fins.

Prenons un exercice :

Soit T l'application dans définie par : où compris entre 1 et n

1- Montrer que T est linéaire continue et calculer sa norme
2- Pareil que 1- en remplaçant la norme

J'ai montré que T était linéaire et même continue, mais le soucis c'est de calculer sa norme.

Je sais que pour 1- on a
Je comprends bien que je dois étudier le cas ou il y a égalité, mais c'est la que je comprends pas ce que je dois faire.

[L.A.]

Bonsoir,

tu dois commencer par trouver un C tel que . Tu dois ensuite prouver que C est le meilleur possible en donnant par exemple un x pour lequel l'inégalité est une égalité, et dans ce cas C sera la norme de T.

[Ncdk]

Justement, comment savoir si ce fameux C est le meilleur possible, enfin connaitre le x pour montrer que c'est pas inégale mais bien égale. :ptdr:

EDIT : Je crois avoir un élément de réponse, pour le C, s'il est pas optimal, ça veut dire que je peux le majorer par une autre constante du coup ?

[remullen2000]

Bonsoir,

Avant de prouver que c'est le meilleur, commence par montrer que "C" existe. Il suffit de majorer |T(x)| comme on vient de te le suggérer.

[Ncdk]

Oui j'ai oublié, je l'ai déjà fait bien entendu, C existe et on a la majoration suivante :

[remullen2000]

Tu as voulu mettre inférieur ou égal j'imagine, la norme de T peut-être cherchée pour un x de norme 1.

Trouve donc un élément x de C^n tel que ||x||=1 et |T(x)|=sigma(module des ak)

[Ncdk]

D'accord en fait mon but c'est de trouver un x solution de ?

[Ben314]

Pas vraiment, non...
Tnn but, c'est de trouver un x non nul tel que l'inégalité soit une égalité (ou presque (*)).
Et si un tel x existe, alors il en existe aussi un de norme 1 (en prenant celui de départ et en le divisant par sa norme) donc on peut directement en chercher un de norme 1 tel que .
Pour trouve un tel x, tu regarde la séries d'inégalités qui t'a permis d'obtenir le résultat (1) u regarde pour chaque étape à quelle condition ton inégalité est une égalité. Ici, ce n'est pas trop difficile.


(*) Attention au fait que la norme d'un opérateur, c'est la borne supérieure d'un certain truc, donc ce n'est pas toujours atteint et il est possible qu'il n'y ait pas de x qui donne exactment l'égalité souhaitée, mais seulement des x qui la donne à epsilon près (epsilon aussi petit que l'on veut)

[Ncdk]

D'accord, mais j'ai beau regardé mais j'arrive quand même pas à voir les conditions pour que les différentes inégalités soient des égalités...

J'ai commencé ici

J'ai dit que c'est une égalité si on a les et positifs ou nuls, mais on est dans , donc je trouve gênant cette condition :triste:

[remullen2000]

Peut-être que cela fonctionnerai:

écris en forme polaire les .

pose:

et

A quoi est alors égale |T(x)|? Quelle est la norme infini de ce x choisi?