Calcul de volume

[Anonyme]

Bonjour a tous,

Me plaçant dans un repere (x,y,z), je voudrais calculer le volume d'un cylindre de rayon r, dont l´axe est centré sur l´axe z, dont une des extremites est dans le plan (x,y), et don l autre est coupee par un plan de la forme Ax+By+Cz=D (a,b,c,d constantes)

Il faut realiser une intégrale triple, mais je n´arrive pas a trouver un changement de variable adéquat simplifiant le probleme.
On a en fait les relations suivantes entre les grandeures x, y et z:
x^2+y^2=r^2
z=E*sqrt(r^2-y^2)+Fy+G

Comment doit-je m y prendre ??

[Chimerade]

je voudrais calculer le volume d'un cylindre ...
Il faut realiser une intégrale triple...
Comment doit-je m y prendre ??

Bonjour,

C'est l'intégrale en elle-même qui t'intéresse ? Ou tu veux simplement connaître ton volume ?

La question est d'importance, car tu n'as pas besoin de l'intégrale pour connaitre le volume ! J'ai une suggestion pour les deux réponses possibles...

[Anonyme]

Et bien en fait, ca m interesserai d avoir l integrale, pour ma culture personnelle et pour la beauté de la "demonstration".
Mais si il y a un methode plus directe, j aimerais bien la connaitre aussi...

[Chimerade]

Et bien en fait, ca m interesserai d avoir l integrale, pour ma culture personnelle et pour la beauté de la "demonstration".
Mais si il y a un methode plus directe, j aimerais bien la connaitre aussi...

Bon, d’abord sans l’intégrale…

Si tu considères la zone de ton cylindre contenant des points du plan : z1<=z<=z2. Tu peux facilement calculer sa hauteur h=z2-z1. Pour des raisons de symétrie, il est clair que le plan la coupe en deux parties égales en volume. Par conséquent, la partie qui t’intéresse a pour volume hS/2 si S est la surface du cercle définissant la base du cylindre. Hors de cette zone, le reste n’est qu’un cylindre de révolution limité par deux plans perpendiculaires à son axe, donc pas de problème.

Et avec l’intégrale…

En fait ce que j’ai écrit ci-dessus donne une idée du changement de variable idéal. Si i,j et k sont les vecteurs définissant ton repère initial, moi, je choisirais pour I la projection (normée) d’un vecteur normal au plan sur Oij, et pour J le vecteur k^I. Et je me placerais dans le repère I,J,k

Tu feras ton intégrale sur z : intégrale de z=z1 à z=z2. Et pour chaque valeur z0 de z, l’intersection du plan de cote z0 avec ton volume sera un morceau de disque. L’intégrale en elle-même n’est pas nécessairement évidente (je ne l’ai pas faite) mais de toute façon, on peut faire deux demi intégrales de z1 à (z1+z2)/2 et de (z1+z2)/2 à z2 et on retombera sur la même symétrie. Toute la simplification repose justement sur la symétrie. Si tu es obligé de calculer l’intégrale de z1 à z2-k (k;)0) par exemple, la symétrie saute et là ça peut être plus dur (voire peut-être non intégrable !!!).

Tiens nous au courant

Bon courage