Calcul d'un sup...

[Syphax]

Bonjour,

Afin de déterminer la convergence uniforme d'une certaine suite de fonction, je dois d'abord déterminer le sup (x^n*(1-x)), x appartenant à [0,1], mais je n'arrive pas à le trouver.
J'ai essayé d'étudier la fonction f(x) = x^n*(1-x) afin de déterminer explicitement sa borne supérieure mais le signe de f '(x) dépend de n, donc il y a un problème.

Bref, si vous savez déterminer ce sup ou même si vous connaissez différentes méthodes de calcul de sup, j'aimerai bien les connaître car j'ai un peu du mal avec le calcul des sup.

Merci

[Nightmare]

Hello,

en quoi le fait que le signe de f'(x) dépende de n pose un problème?

Il est tout à fait possible que ton sup lui même dépende de n.

Par exemple le sup de (x+n) pour x variant dans [0;1] est 1+n qui dépend bien de n.

[Syphax]

Hello,

en quoi le fait que le signe de f'(x) dépende de n pose un problème?

Il est tout à fait possible que ton sup lui même dépende de n.

Par exemple le sup de (x+n) pour x variant dans [0;1] est 1+n qui dépend bien de n.

Oui, mais alors comment faire mon tableau de variations ?
Car dans mon cas, f '(x) = x^(n-1) * (n+x*(-n-1)). Ce serait plutôt long de déterminer son signe.
Et au cas où j'aurai déterminer le max de f (et donc sa borne sup ?), je dois calculer :

lim (n->+;)) (sup |x^n *(1-x)|) x appartenant à [0,1] (et vérifier qu'elle est égale à 0 pour montrer la CV uniforme).

Donc, comme n-> +;), je devrais regarder dans mon tableau de variation la borne sup de f(x) quand n-> +;), non ?

Merci

[Nightmare]

fn'(x)=x^(n-1)(n-(n+1)x), ça c'est ok.

on est sur [0;1] donc le premier facteur x^(n-1) est positif et fn'(x) est donc du signe du deuxième facteur qui est n-(n+1)x.

Or ce dernier est positif lorsque x < n/(n+1) et négatif après. Tu en déduis que fn est croissante sur [0;n/(n+1)] puis décroissante jusqu'à 1.

Le sup des fn(x) est alors un max qui est atteint en n/(n+1).

Autrement dit :

Il ne reste donc plus qu'à calculer fn(n/(n+1)) et voir si ça tend ou non vers 0.

[Syphax]

fn'(x)=x^(n-1)(n-(n+1)x), ça c'est ok.

on est sur [0;1] donc le premier facteur x^(n-1) est positif et fn'(x) est donc du signe du deuxième facteur qui est n-(n+1)x.

Or ce dernier est positif lorsque x < n/(n+1) et négatif après. Tu en déduis que fn est croissante sur [0;n/(n+1)] puis décroissante jusqu'à 1.

Le sup des fn(x) est alors un max qui est atteint en n/(n+1).

Autrement dit :

Il ne reste donc plus qu'à calculer fn(n/(n+1)) et voir si ça tend ou non vers 0.

Merci pour ton aide !
Sinon, j'ai une autre question (la dernière :zen: ) : lorsque fn(x) est définie de différentes façons en fonction des valeurs de x, qu'est ce qui diffère (de manière générale) du cas où fn(x) est définie d'une seule façon ? On doit toutes les étudier et vérifier à la fin si elles ont toutes pour limite sup(......) 0 pour pouvoir dire qu'il y a CV uniforme, non ?

[Nightmare]

Qu'entends-tu par "défini de différentes façons"?