Calcul de rayon de convergence

[MoonX]

Bonjour,

Je bloque sur un exercice :
Rayon de convergence de lorsque

Je pense qu'il faut montrer que est équivalent à à une puissance quelconque, mais je ne sais pas si c'est possible de calculer directement la somme.

Je vous remercie par avance !

[Ben314]

Salut,
Un truc à bien comprendre, c'est que pour le calcul du rayon de convergence d'une série , il n'est pas nécessaire d'avoir une approximation "super fine" des (par exemple un équivalent) : un encadrement "relativement grossier" suffit amplement.
Par exemple, si pour tout n suffisamment grand, on a , ça semble "assez grossier" comme encadrement, et pourtant, ça suffit pour conclure que le rayon de C.V. de la série, c'est R=1.

[MoonX]

Merci beaucoup pour l'explication.
C'est vrai que c'est la seule méthode que je n'ai pas essayé (je n'ai pas encore le réflexe).

Pour la solution :
(la somme est au moins égale à car et divisent toujours ; et elle est majorée par car n est le plus grand diviseur possible, et on majore grossièrement le nombre de diviseurs pas n)

Alors :
Soit
Si :
Alors par comparaison, grâce à la minoration précédente, n'est pas bornée.
Si :
Alors par comparaison, grâce à la majoration précédente, est le terme général d'une série absolument convergente. Ceci étant vrai pour tout r<1, on en déduit que R = 1

Je vous remercie encore pour ces explications claires.