Calcul d'intégrale

par **Hyp** » 05 Mai 2008, 18:46

Bonsoir (ou bonjour, cela dépend :p),

Bon alors, soient ;)<;). Calculer I(n,m) pour nIN, mIN défini par :

I(n,m) = Intégrale [;) à ;)] de (x-;))^n (x-;))^m dx

En intégrant par partie, on remarque que la primitive s'annule (comme il y'a ;) et ;) dans les bornes), et l'intégrale restante devient un peu plus compliquée.

Je trouve par exemple que I(n,m) = - m-1/n+1 intégrale (x-;))^n+1 (x-;))^m-1 dx.

C'est peut être une relation de récurrence ?

Une indication s'il vous plait, merci pour votre aide.

par **emdro** » 05 Mai 2008, 19:09

Bonsoir,

c'est bien.
Tu n'as qu'à utiliser cette formule m fois, et les (x-bêta) disparaîtront. Tu sauras alors calculer l'intégrale.

par **emdro** » 05 Mai 2008, 19:11

Hyp a écrit: I(n,m) = - m-1/n+1 intégrale (x-;))^n+1 (x-;))^m-1 dx.

Au passage, vérifie ton -(m+1) au numérateur... Il apparaît en dérivant x->(x-;))^m ?

par **Hyp** » 05 Mai 2008, 19:15

Merci bien, j'avais cette idée en tête, et j'avais peur que cela influe sur le comportement de l'entité en n (car c'est peut être un problème si n
Encore merci Emdro, je finis le calcul :)

par **emdro** » 05 Mai 2008, 19:17

Une fois que tu auras ta solution, vérifie-la sur un exemple.

Tu peux aussi la poster, je te dirai si c'est bon...

par **Hyp** » 05 Mai 2008, 19:19

emdro a écrit:Au passage, vérifie ton -(m+1) au numérateur... Il apparaît en dérivant x->(x-;))^m ?

Oups désolé, c'était m en effet et non pas m-1, et oui j'ai dérivé x->(x-;))^m. Il est également possible de dériver autrement, enfin je pense. (Je m'attends à un Zero à la fin, intuition masculine :we: )

par **emdro** » 05 Mai 2008, 19:24

Hyp a écrit: (Je m'attends à un Zero à la fin, intuition masculine :we: )

Zéro pour l'intégrale?
La fonction sous le signe somme ne garde-t-elle pas un signe constant?

Intuition masculine à compléter de quelques connaissances du cours!! :zen:

par **Hyp** » 05 Mai 2008, 19:29

Bon, sauf erreur voici la formule de récurrence que j'ai dégagé :

I(n,m) = (-1)^k * [m*(m-1)*..*(m-k) / (n+1)*..*(n+k)] * I(n+k, m-k)

Pour k=m je vais tout de suite conclure..

EDIT: Je suppose qu'il y'a quelque chose qui cloche quelque part!

Oui en effet, c'est plutôt :

I(n,m) = (-1)^k * [m*(m-1)*..*(m+1-k) / (n+1)*..*(n+k)] * I(n+k, m-k)

par **emdro** » 05 Mai 2008, 19:38

Ca m'a l'air bon.

Ne te décourage pas ainsi!

Pense à utiliser les factorielles.

par **Hyp** » 05 Mai 2008, 19:39

Euh non cela n'avait pas l'air bon (et ce n'était pas bon) car pour k=m on tombe
sur le stupide 0. Et là ça va donner plutôt *calcule*..

par **emdro** » 05 Mai 2008, 19:41

Hyp a écrit:I(n,m) = (-1)^k * [m*(m-1)*..*(m+1-k) / (n+1)*..*(n+k)] * I(n+k, m-k)

C'est effectivement un peu mieux!

par **Hyp** » 05 Mai 2008, 19:47

... = (m! n!) / (n+m)! * I(n+m, 0)

= (m!n!/(n+m)! * 1/(n+m+1) * [(x-;))^n+m+1] (pris entre ;) et ;))

= ± (;)-;))^n+m+1 * (m!n!) / (n+m+1)!

(± car on n'a aucune idée sur la parité* de m)

Mais je pense que le résultat est sous cette forme, car en dérivant par rapport à la quantité en n, ce même résultat est possible à obtenir.

par **emdro** » 05 Mai 2008, 19:48

Il n'y a pas un -1 puissance quelque chose?

par **Hyp** » 05 Mai 2008, 19:50

Je suppose que c'est mieux maintenant ?

par **emdro** » 05 Mai 2008, 19:56

Hyp a écrit:I(n,m) = Intégrale [;) à ] de (x-;))^n (x-;))^m dx

Tu n'as aucune idée sur le signe de l'intégrale?
Quel est le signe de x-;)? de (x-;))^n?
Quel est le signe de x-;)? de (x-;))^m?
Quel est le signe de la fonction?
Les bornes sont-elles dans le "bon" sens?

D'autre part, ton (-1)^k, qu'est-il devenu lorsque tu as remplacé k par m?

par **Hyp** » 05 Mai 2008, 20:00

Ouch encore désolé, je voulais dire la parité de m (corrigé).

(;)-;))^n+m+1 est bien entendu positif car ;)-;)>0 par hypothèse.

Mais (-1)^m est à discuter non ?

(x-;))^n est positif pour tout x [;),;)] évidemment

Par analogie (x-;))^m est négatif, mais je ne vois pas le rapport direct avec mon expression.

par **emdro** » 05 Mai 2008, 20:04

Hyp a écrit:Par analogie (x-;))^m est négatif

Même lorsque m est pair?

Et si tu connais le signe de la fonction et l'ordre des bornes, tu ne connais pas le signe de l'intégrale?

par **Hyp** » 05 Mai 2008, 20:14

emdro a écrit:Même lorsque m est pair?

Arf, non c'est dans ce cas positif.

emdro a écrit:Et si tu connais le signe de la fonction et l'ordre des bornes, tu ne connais pas le signe de l'intégrale?

Bon en clair, il y'a deux paramètres à vérifier pour avoir le signe du résultat :

Signe de (-1)^m

Signe de (;)-;))^n+m+1, qui est positif quelque soient m et n.

Ce n'est pas correct ?

par **emdro** » 05 Mai 2008, 20:19

Voilà!

Donc (-1)^m* (;)-;))^n+m+1 * (m!n!) / (n+m+1)! est la bonne réponse.

Je ne parviens pas à comprendre pourquoi quand tu avais
I(n,m) = (-1)^k * [m*(m-1)*..*(m+1-k) / (n+1)*..*(n+k)] * I(n+k, m-k),
tu n'as pas dit
I(n,m) = (-1)^m* [m*(m-1)*..*(1) / (n+1)*..*(n+m)] * I(n+m, 0)?
Cela aurait donné immédiatement la bonne réponse.

par **Hyp** » 05 Mai 2008, 20:27

emdro a écrit:Je ne parviens pas à comprendre pourquoi quand tu avais
I(n,m) = (-1)^k * [m*(m-1)*..*(m+1-k) / (n+1)*..*(n+k)] * I(n+k, m-k),
tu n'as pas dit
I(n,m) = (-1)^m* [m*(m-1)*..*(1) / (n+1)*..*(n+m)] * I(n+m, 0)?
Cela aurait donné immédiatement la bonne réponse.

J'avais sous entendu (-1)^m pour ±, c'était juste pour alléger l'expression déjà bien enflée !

Merci à toi emdro, j'apprécie :we:

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