Calcul d'intégrale

[chris2273]

Bonjour tout le monde, je bloque sur une intégrale, pas très compliquée je pense, mais vu mon niveau en maths, j'ai du mal :briques: :

Intégrale enttre 0 et +infini de x² / (x^4 + 1)

J'ai essayé des changements de variables, en vain.

Voila, merci d'avance pour les réponses :we:

[Sylar]

Bonsoir:

Notons:

I=int[0..+inf]( x² / (x^4 + 1) )

http://integrals.wolfram.com/index.jsp

Vu le résultat c'est pas très réjouissant ....

[Miya]

Salut,

J'ai la méga flemme de faire ce calcul, mais je crois qu'il y a au moins une méthode classique : décomposition de la fraction en pôles, puis un côté qui s'intégrera en logarithme, l'autre en arctangente..
Bon amusement ;)

[Sylar]

Re:

1+x^4 =(x^2-i).(x^2+i)

d'ou:

x^2 /(1+x^4)= x^2 /[(x^2-i).(x^2+i)]

Ensuite ,il y a juste a décomposer en éléments simples.....

[Miya]

Pour ceux qui attrapent des boutons en voyant des complexes, on peut pousser un peu plus loin :
1+x^4 = (x²-i)(x²+i)
= (x-e(iPI/4))(x+e(iPI/4))(x-e(-iPI/4))(x+e(-iPI/4))
= (x²-racine(2)x+1)(x²+racine(2)x+1)

Et on suit comme dit Sylar, et intègre en arctangente et logarithme...

[Edrukel]

1+x^4=(1+x²)²-2x²

d'où on trouve :

x²/(1+x^4)=(1/4).(x.rac(2)/(x²-x.rac(2)+1)-x.rac(2)/(x²+x.rac(2)+1))

après c'est simple :-)

et on trouve : pi.rac(2)/4